1. Матрицы и действия над ними.

Рассмотрим матрицу вида:

Можно пользоваться сокращенной формой записи:

A = ( a_ij ); i = 1, 2, 3, .... , m ; j = 1, 2, 3, ....., n .

О. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны 0.

О. Две матрицы одинаковой размерности mxn называются равными, если на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., m ; j=1, 2, ..., n .

Пусть A = (a_ij) – некоторая матрица и g–произвольное число,тогда g A = (g a_ij), то есть при умножении матрицы A на число g все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число g.

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a_ij), B = (b_ij), тогда их сумма A + B – матрица C = (c_ij) той же размерности, опреде­ляемая из формулы c_ij= a_ij + b_ij, то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой

Элемент c_ij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i -строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы - сомножителя.

Таким образом, формула (1.16) является записью системы m линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме. Ниже будет показано, что, записывая систему в сжатом виде, кроме краткости написания мы получаем и другие очень важные преимущества.

Пусть имеются две квадратные матрицы А и В одинаковой размерности.

Требуется найти матрицу X, удовлетворяющую матричному уравнению

AX = В.

О. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A^–1, для которой справедливы равенства:

AA ^–1 = A ^–1 A = E (1.17)

Очевидно, что A^–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрица A. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Матрица А имеет обратную матрицу, если detA не равно 0.

Обратная матрица имеет вид:

2. 1 2 3 И n порядок

Определение: Матрицей называется множество чисел, записанное в виде таблицы, где каждому числу ( элементу матрицы) соответствует двойной индекс, первая часть которого означает номер строки, в которой расположено это число, а вторая – номер столбца. Эта таблица чисел заключается в круглые скобки. Матрица называется квадратной, если количество её строк равно количеству столбцов. Пример: - матрица А размера 3 на 3, её элемент, например,   ( 1-я строка, 2-ой столбец).

Итак, теперь об определителях. Замечание: Иногда определители называют на английский манер детерминантами, это одно и то же (для тех, кто знает английский язык и подавно). Определение 1 (простое, для нематематических людей и специальностей): Определителем матрицы называется некоторая математическая функция элементов квадратной матрицы, результатом которой является число. Обозначение:  – определитель 3- го порядка (т.к. матрица размера 3 на 3) матрицы А. Замечание: В этом, якобы простом, определении определителя ( звучит как тавтология) говориться, что с элементами матрицы нужно что то сделать ( умножить, сложить, разделить и т.д.) и получится значение определителя этой матрицы. Однако не сказано. Что же все-таки надо с ними сделать.

Вычисление определителей первого порядка. Матрица размера   это просто число. Определителем такой матрицы является само это число. Пример:

Вычисление определителей второго порядка. Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу: Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной. Пример: .

Вычисление определителей третьего порядка. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу: Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников: Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых. Пример: Вычислить определитель: Решение: Воспользуемся правилом треугольников. Объясним картинку подробно, т.е. распишем каждое слагаемое отдельно:  

Итого:

Ответ: 108

Для более точного и сложного определения и для того, чтобы говорить об определителях порядка больше третьего, потребуется вспомнить еще кое-что. Нас интересует термин подстановка, даже не столько определение, сколько способ её вычисление.

Для подстановки принята запись:  , т.е. пары чисел, записанные в столбик, причем так, что верхние числа идут последовательно (вообще говоря, столбцы можно менять местами).

Подстановки бывают четными и нечетными. Для того, чтобы выяснить, является данная подстановка четной или нечетной, нужно обратить внимание на вторую строку, а точнее на порядок чисел в ней. Необходимо подсчитать количество пар чисел во второй строке, таких, что число, стоящее левее, больше числа, стоящего правее (  ). Если количество таких пар нечетно, то и подстановка называется нечетной, и, соответственно, если количество таких пар четно, то и подстановка называется четной.

Пример: 1) Рассмотрим числа второго ряда. 4 стоит левее 3, левее 1, левее 2 – это уже три «неправильные» пары. 3 стоит левее 1 и 2 – еще две пары. Итого 5 пар, т.е. это нечетная подстановка. 2) Заметим, что числа в первой строке расположены не по порядку. Выполним перестановку столбцов. Рассмотрим числа второго ряда. 3 стоит левее 2 и 1 – две пары, 2 стоит левее 1 – одна пара, 5 стоит левее 4 и 1 – две пары, 4 стоит левее1 – одна пара. Итого 6 пар – подстановка четная.

Определение 2 (для студентов математических специальностей, раскрывающее всю суть определяемого понятия):

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется алгебраическая сумма   слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения   элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае. Замечание: Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления. . 1) «алгебраическая сумма   слагаемых» –  . И да, действительно, здесь шесть слагаемых. 2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» – рассмотрим например слагаемое   . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго. 3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» – рассмотрим для примера слагаемые   (со знаком плюс) и  (со знаком минус).

Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов. Для слагаемого   :   ( первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.) Для слагаемого   :   . Определим четность этих перестановок: а)   – элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары: 2 левее 1 – одна пара, 3 левее 1 – одна пара. Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле). б)   – элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары: 2 левее 1 – одна пара. Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус ( да, это так). Пример («Сборник задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, №1001):

Выяснить, какие из следующих произведений входят в развернутое выражение определителей соответствующих порядков и с какими знаками. а)  Обратим внимание на часть определния «по одному из каждой строки и каждого столбца». Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 6( 1, 2, 3, 4, 5, 6). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 6 ( 3, 2, 1, 4, 5, 6). Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 6-го порядка. Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей:

3 левее 2, 1 – две пары, 2 левее 1 – одна пара, 6 левее 5, 4 – две пары, 5 левее 4 – одна пара. Итого 6 пар, т.е. перестановка четная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «плюс».

б)  Все первые индексы сомножителей различны от 1 до 5( 3, 1, 5, 4, 2). Все вторые индексы сомножителей различны от 1 до 5 (1, 3, 2, 5, 4). Вывод – это произведение входит в развернутое выражение определителя 5-го порядка. Определим знак этого слагаемого, для этого составим перестановку из индексов сомножителей: Переставим столбцы так, чтобы числа в первой строке шли по порядку от меньшего к большему. 3 левее 1, 2 – две пары. 4 левее 1, 2 – две пары, 5 левее 2 – одна пара. Итого 5 пар, т.е. перестановка нечетная и слагаемое входит в развернутую запись определителя со знаком «минус». в)   – обратим внимание на первый и шестой сомножители:   и  . Они оба взяты из 4-го столбца, а значит, это произведение не может входить в развернутое выражение определителя 7-го порядка.