II семестр (51 час)

Темы лекционных занятий

Часы

Ссылки на цели

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

3.1. Производная функция, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения, частного функций.

3.2. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производная функции, заданной параметрически.

3.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала и производной функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

3.5. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Отыскание наименьшего и наибольшего значения функций, непрерывных на отрезке.

3.6. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.

3.7. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования и построения графика функции.

3.8. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей. Формула Тейлора.

3.9. Достаточные условия локального экстремума. Выпуклость, вогнутость графика функции. Асимптоты. Точки перегиба.

10

1,2,4,5,8

4. Интегральное исчисление функции одной переменной

1. Понятие первообразной функции. Теоремы о множестве первообразных для данной функции. Неопределенный интеграл, его свойства. Основная таблица неопределенных интегралов. Основные методы нахождения неопределенных интегралов.

2. Интегрирование рациональных, иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений.

3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Производная от интеграла по его верхнему пределу. Связь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Основные методы вычисления определенного и неопределенного интегралов: непосредственное интегрирование, замена переменных, интегрирование по частям.

4.6. Несобственные интегралы первого и второго рода. Признаки сходимости.

4.7. Геометрические приложения определенного интеграла

17

1,2,4,5,9

5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

5.1. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

5.2. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы первого дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.

5.3. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

5.4. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций.

5.5. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.

5.6. Кратные интегралы и их свойства. Двойной интеграл. Определение. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена пределов интегрирования.

8

1,2,4,5,

10

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения

6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциального уравнения. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

6.3. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

6.5. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Векторно-матричная запись нормальной системы. Задача Коши. Решение в случае простых действительных корней характеристического уравнения.

16

1,2,4,5,

11, 15, 16