Теорема об изменении момента количеств движения.

Разделяя силы, действующие на точки системы, на внешние и внутренние, запишем для каждой точки системы теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижного центра O:

Суммируя между собой правые и левые части полученных выражений, вынося производную за знак суммы, получаем

(5)

так как главный момент внутренних сил системы равен нулю.

Сумму моментов количеств движений материальных точек системы относительно неподвижного центра O назовем моментом количеств движений системы материальных точек или кинетическим моментом системы относительно центра O и обозначим K_O, то есть

(6)

Тогда из последнего выражения в (5) следует

(7)

то есть теорему об изменении момента количеств движения системы материальных точек в дифференциальной форме можно сформулировать так: производная по времени от момента количеств движения (кинетического момента) системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.

Векторной записи теоремы соответствуют три скалярных выражения записи теоремы в проекциях на оси инерциальной системы координат Oxyz, которая считается неподвижной:

(8)

где K_x, K_y, K_z - моменты количеств движения системы относительно осей координат, а M_x^e, M_y^e, M_z^e - суммы моментов всех внешних сил системы относительно тех же осей.

Теорема имеет интегральную форму, которую часто называют теоремой момента импульсов. Теорема об изменении момента количеств движения в интегральной форме редко используется в решении задач динамики материальной системы и здесь не рассматривается. Отметим, что она чаще применяется в механике сплошной среды, в теории удара и что на ее основе доказывается теорема Резаля, которая применяется в приближенной теории гироскопа.

Закон сохранения теоремы.

Он имеет место, когда M_O^e = 0. Тогда из выражения (7) следует, что K_O = const. Закон сохранения может иметь место и при движении системы вокруг одной из осей координат, например Oz, когда M_z^e = 0. Тогда из последнего выражения в (8) получаем, что K_z = const.

Применение теоремы.

Из формул (7) и (8) следует, что внутренние силы системы не влияют на изменение момента количеств движения. Поэтому применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы. Когда же моменты внешних сил равны нулю, имеет место закон сохранения теоремы, и моменты количеств движения системы относительно неподвижных центра и оси остаются постоянными, равными своим начальным значениям.

Теорема и закон ее сохранения позволяет понять и объяснить широкий круг вопросов, связанных с вращением тел. При решении практических задач она в основном используется для исследования движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и материальных систем, которые состоят из тел, двигающихся поступательно, и тел, вращающихся вокруг неподвижных осей.

Поэтому далее мы рассмотрим вычисление моментов количеств движения тела в поступательном движении и при вращении тела вокруг неподвижной оси.