41. Аналогия между полем в проводящей среде и электростатическим полем

По своей природе электростатическое поле и поле постоянного тока в проводящей среде различны. Электростатическое поле создается электрическими зарядами, неизменными во времени и неподвижными в пространстве. Электрическое поле в проводящей среде создается электрическими зарядами, которые имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника. Однако между полями существует формальная аналогия.

Электростатическое поле в областях, не занятых зарядами удовлетворяет уравнению Лапласа. Этому же уравнению удовлетворяет электрическое поле постоянного тока в проводящей среде вне сторонних источников. В обоих случаях имеют дело с вектором напряженности электрического поля . Диэлектрической проницаемости  соответствует проводимость . С вектором электрического смещения можно сопоставить вектор плотности тока . С потоком вектора – можно сопоставить поток вектора плотности электрического тока .

Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков:

Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различной проводимостью

Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что при одинаковой форме граничных поверхностей картина поля в обоих случаях будет одинаковой (совокупность силовых и эквипотенциальных линий).

Соотношение между проводимостью и емкостью

Если какие-либо электроды поместить в проводящую среду и присоединить к источнику ЭДС, то по проводящей среде идет ток. Проводимость между электродами равна

В свою очередь:

Проводимость

(16.13)

C другой стороны в электростатическом поле с электродами такой же конфигурации емкость между двумя частями электродов, на которых расположены одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды Q равна:

(16.14)

Учтено, что

Если разделить (16.14) на (16.13), то можно получить:

(16.15)

Выражение (16.15) позволяет по известному выражению емкости между какими-либо телами получить выражение для проводимости и наоборот.

Так, например, емкость двухпроводной линии:

(16.16)

где: l – длина проводов, d – расстояние между осями, r – радиус провода.

Чтобы получить выражение для проводимости между двумя параллельными проводами, погруженными в среду с проводимостью , надо в (16.15) заменить _a на :

(16.17)

43.Магнитное поле постоянного тока

Магнитное поле постоянного тока создается неизменными во времени токами, проходящими по проводящим телам, неподвижным в пространстве по отношению к наблюдателю. Электрическое поле постоянного тока не влияет на магнитное поле, и их можно рассматривать независимо.

Магнитное поле характеризуется индукцией , намагниченностью и напряженностью магнитного поля . Эти три величины связаны соотношением

(17.1)

где  Гн/м – магнитная постоянная, – абсолютная, а – относительная магнитная проницаемость.

Скалярный потенциал магнитного поля

Вихревыми принято называть поля, в которых ротор векторной величины, описывающей поле, отличен от нуля. Так, для магнитного поля постоянного тока , поэтому во всех точках пространства, где , поле вектора является вихревым. В областях пространства, где J = 0, , магнитное поле можно рассматривать как потенциальное, т.е. как такое поле, каждая точка которого имеет скалярный магнитный потенциал .

(17.10)

Так как , то при _a = const

(17.11)

Скалярный потенциал магнитного поля подчиняется уравнению Лапласа.

Разность скалярных магнитных потенциалов между точками 1 и 2 называют падением магнитного напряжения между точками 1 и 2.

44-45 Векторный потенциал магнитного поля

Векторный потенциал магнитного поля – это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке, ротор которой равен магнитной индукции

(17.13)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю, т.е.

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (17.13). Векторным потенциалом можно пользоваться и для областей, занятых током.

В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей:

1. Определения вектора магнитной индукции по формуле (17.13);

2. Определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур.

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.

Умножим обе части (17.6) на _a. Если магнитная проницаемость постоянна, то ее можно внести под знак ротора:

; (17.14)

;

;

rot rot A = [V[VA]] = grad div A - V²A = m_ad.

Так как есть расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно подчинить требованию:

(17.15)

Это требование означает, что линии вектора есть замкнутые сами на себя линии:

. (17.16)

Уравнение (17.16) представляет собой уравнение Пуассона. В отличие от уравнения (13.21), составленного относительно скалярной величины , уравнение (17.16) составлено относительно векторной величины . Общее решение по аналогии может быть записано как

(17.17)

Единицей измерения является Вс/м. Формула (17.17) дает общее решение уравнения (17.16). Вектор в любой точке поля можно определить вычислением объемного интеграла (17.17). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током. Следует отметить, что взятие интеграла правой части формулы (17.17) сопряжено обычно со значительными математическими выкладками.