Домашнее задание № 5

1. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса .

Ответ. 5 и 4; и ; ;

2. Составить каноническое уравнение эллипса если:

а) его большая полуось равна 10 и фокусы есть , ;

б) , , ;

в) задана точка эллипса и его малая полуось равна 2;

г) заданы две точки эллипса и ;

д) эксцентриситет и заданы фокусы и ;

е) точка принадлежит эллипсу, ;

к) расстояние между фокусами равно 4,расстояние между директрисами равно 5.

Ответ. а) ; б) ; в) ;

г) ; е) , е) ; к)

3. Привести уравнение кривой к каноническому виду и изобразить кривую .

Ответ.

4. Установить и изобразить линию, которая определяется следующими уравнениями: а) ; б) .

5. Точка лежит на эллипсе, фокус которого , а соответствующая директриса задана уравнением . Составить уравнение этого эллипса.

Ответ.

6. Найти канонической уравнение гиперболы с фокусами на оси :

а) , ; б) , ;

в) и уравнения асимптот ;

г) и расстояние между директрисами равно ;

д) проходящей через точки и .

Ответ. а) ; б) ; в) ; г) ; д)

7. Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола проходит через точку . Найти расстояние от точки до правого фокуса.

Ответ. ,

8. Составить уравнения асимптот гиперболы , построить ее.

Ответ. и

9. Написать каноническое уравнение кривой и изобразить кривую .

Ответ.

10. Точка лежит на гиперболе, фокус которой , а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.

Ответ.

11. Установить и изобразить линию, которая определяется следующим уравнением: а) ; б) .

12. Даны вершина параболы и уравнение ее директрисы . Найти фокус этой параболы.

Ответ.

13. Установить и изобразить линию, которая определяется уравнением:

а) ; б) .

14. Написать каноническое уравнение линии и изобразить ее .

Ответ.

Самостоятельная работа

I вариант

1. Изобразить кривую .

2. Изобразить кривую .

3. Составить уравнение гиперболы, если известны ее точка , принадлежащая гиперболе, фокус и уравнение, соответствующей директрисы .

4. Даны вершина параболы и уравнение директрисы . Найти .

II вариант

1. Изобразить кривую .

2. Изобразить кривую .

3. Эксцентриситет эллипса , фокус которого , а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение эллипса.

4. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса .

III вариант

1. Изобразить кривую .

2. Изобразить кривую .

3. Составить уравнение эллипса, зная его . Точка является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой .

4. Даны вершина параболы и уравнение директрисы . Составить уравнение параболы.

IV вариант

1. Изобразить кривую .

2. Изобразить кривую .

3. Составить уравнение гиперболы, фокус которой , а соответствующая директриса дана уравнением и .

4. Точка принадлежит эллипсу и соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение эллипса.

Контрольная работа

Вариант 1

1. На биссектрисе первого координатного угла лежат точки и , расстояние между которыми равно . Найти координаты точки .

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и параллельно прямой .

3. Найти угол между высотой и медианой в треугольнике с вершинами в точках , , .

4. Найти каноническое уравнение эллипса, если

а) расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин полуосей равна 7;

б) расстояние от его фокуса до концов большой оси равны 2 и 14.

5. Через фокус параболы проведена прямая под углом к оси . Найти длину образовавшейся хорды.

Вариант 2

1 Дан треугольник с вершинами , , . Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла со стороной .

2 Прямая удалена от начала координат на расстояние . Найти значение .

3 Даны последовательные вершины параллелограмма : , , . Найти координаты четвертой вершины и написать уравнение диагонали .

4 Найти уравнение прямой, содержащей диаметр окружности , перпендикулярный прямой .

5. Найти уравнение гиперболы, зная, что ее эксцентриситет , фокусы гиперболы совпадают с фокусом эллипса .

Вариант 3

1 Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей через точку и касающейся оси в точке .

2 Написать уравнение прямой, проходящей через точку на расстоянии 1 от начала координат.

3 При каких значениях и прямая :

а) параллельна прямой ;

б) перпендикулярна прямой ;

в) проходит через точки и ;

г) пересекается с прямой .

4 Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

5 Найти длину диаметра эллипса (хорды, проходящей через центр эллипса) , перпендикулярного к асимптоте гиперболы , проходящей через первую и третью четверти.

Вариант 4

1 Площадь треугольника с вершинами , , равна 15. Найти ординату вершины .

2 Через точку пересечения прямых и проведена прямая, перпендикулярная прямой . Найти ее уравнение.

3 Даны две смежные вершины , параллелограмма и точка пересечения его диагоналей. Найти уравнения сторон и параллелограмма.

4 Окружность проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой . Найти уравнение окружности.

5 Дан эллипс . Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.