13. Оператор увеличения нечёткости. Декартово произведение.

Оператор увеличения нечёткости.

Пусть А - это исходное нечеткое множество, Е - универсальное множество. Для всех х из Е определены нечеткие множества К (х). Совокупность всех К(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости ф. Результатом действия оператора ф на нечеткое множество А является нечеткое множество следующего вида: Ф(А,К)=U x из Е нюА(х)К(х).

Декартово произведение нечетких множеств.

Пусть А=А1...Ан - нечеткие подмножества универсальных множеств Е=Е1...Ен соответственно.

Декартово произведение А=А1х...хАн является нечетким подмножеством множества Е=Е1х...хЕн с функцией принадлежности: нюА(х1,...,хн)=min{нюА1(х1),...,нюАн(хн)} или

нюА(х1,...,хн)=нюА1(х1) п ... п нюАн(хн).

14.Типы функций принадлежности. Определение треугольной и трапециевидной фп.

кусочно-линейные: (состоят из отрезков прямых линий, образцы непрерывную или кусочно-непрерывную функцию)

- треугольные (ТП порождает нормальное выпуклое унимодальное нечеткое множество с носителем в интервале (a,с) и ядром в точке b);

f(x,a,b,c)={0, x<a; (x-a)/(b-a), a<=x<=b; (c-x)/(c-b), b<=x<=c; 0, x>c}

• трапецивидные

f(x,a,b,c,d)={0, x<=a; (x-a)/(b-a), a<x<b; 1, b<=x<=c; (d-x)/(d-c), c<x<d; 0, x>=d}

(ТП порождает нормальное выпуклое нечеткое множество с носителем в интервале (a,d) и ядром на отрезке [b,c])

Являются наиболее простыми и используются для задания таких свойств множеств, которые характеризуют неопределенность типа: "приблизительно равно", "среднее значение", "расположен в интервале" и тому подобное. Треугольные - в инвестиционном анализе.

15.Определение фп Гаусса.

простая ФП Гаусса f(x,o,c)=exp ^ (-(x-c)^2/(2*o^2)))

Порождает нормальные выпуклые нечеткие множества, при 

этом плотность нормального распределения обеспечивает унимодальность соответсвующего нечеткого множества.

16.Определение колокообразной и сигмоидной функции принадлежности.

Сигмоидные ФП (носитель - вся числовая прямая, порождает выпуклое множество с точкой перехода в с)

F(x,a,c)=1/(1+exp^(-a(x-c)))

П-образные:

• колоколообразные

F(x,a,b,c)=1/(1+mod((x-c/a))^(2b))

Обобщенный колокол: Зависит от четырех параметров. ФП колокол порождает нормальные выпуклые нечеткие множества.

17. Определение треугольной нормы и конормы. Пример использование пары “норма-конорма” Примеры.

Треугольная норма

Пусть нюА=а, нюВ=b, нюС=с. 

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция Т:[0,1]x[0,1]->[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1) Т(0,0)=0; Т(а,1)=а; Т(а,0)=0 - ограниченность

2) Т(а,б)<=Т(с,d), a<=c, b<=d - монотонность

3) T(a,b)=T(b,a) - коммутативность

4) T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c) – ассоциативность

min(a,b) - пересечение по Заде

a*b - алгебраическое произведение (вероятностное пересечение)

max (0, a+b-1) - ограниченное произведение (пересечение по Лукасевичу)

a*b/[1+(1-a)*(1-b)] - произведение Эйнштейна

a*b/[1-(1-a)*(1-b)] - произведение Гамахерa

Определение треугольной конормы. Примеры.

Треугольной конормой (s-нормой) называется двухместная действительная функция Т: [0,1]x[0,1]->[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1) S(1,1)=1, S(a,0)=a, S(a,1)=1 - ограниченность

2) S(a,b)>=S(c,d), a>=c, b>=d  - монотонность

3) S(a,b)=S(b,a) - коммутативность

4) S(a,S(b,c))=S(S(a,b), c) – ассоциативность

Max(a,b) - объединение по Заде

a+b-ab - алгебраическая сумма (вероятностное объединение)

Min (1, a+b) - ограниченная сумма (объединение по Лукасевичу)

1-(1-a)(1-b)(1+ab) - сумма Эйнштейна

1-(1-a)(1-b)(1-ab) - сумма Гамахера

{1, min(a,b)>0; min (a,b), min(a,b)=0 - усиленная сумма

{a, b=0; b, a=0; 1, в остальных случаях - сильная сумма