Критерий существования предела числовых последовательностей на языке бесконечно малых числовых последовательностей
Для того чтобы числовая последовательность
имела предел
,
необходимо и достаточно чтобы было
возможно представление
,
где
-
б/м числовая последовательность.
Достаточность:
Из
существования предела следует, что
.
Обозначим
.
Тогда
-
б/м числовая последовательность.
Таким
образом, получено представление
,
где
- б/м ч.п. (что и требовалось доказать).
Необходимость:
Пусть теперь имеется представление , где - б/м числовая последовательность.
Из того,
что
- б/м ч.п.
Из
условия
следует, что
(по
опред.)
(что
и требовалось доказать).
Монотонные и ограниченные последовательности
Df: Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго больше предыдущего члена.
Df: Числовая последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего члена.
Df: Возрастающие и убывающие числовые последовательности объединяют общим названием – строго монотонные последовательности.
Df: Числовая последовательность называется неубывающей, если каждый ее член не превосходит следующего члена.
Df: Числовая последовательность называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не превосходит предыдущего члена.
Df: Невозрастающие и неубывающие числовые последовательности объединяют общим названием – монотонные последовательности.
Df: Числовая последовательность называется ограниченной сверху, если
.
Df: Числовая последовательность называется ограниченной снизу, если
.
Df: Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Справедливо утверждение:
Th: Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она имеет предел.
Следствие 1: Члены неубывающей ограниченной сверху последовательности не больше ее предела.
Следствие 2: Члены невозрастающей ограниченной снизу последовательности не меньше ее предела.
Df: Число M
называется верхней гранью(границей)
множества
,
если
выполняется неравенство x
M.
Df: Наименьшая из всех верхних граней множества называется его точной верхней гранью.
Df: Аналогично, число m
называется нижней гранью множества X,
если
выполняется
.
Df: Наибольшая из всех нижних граней множества называется его точной нижней гранью.
Правила нахождения пределов
Т1.
Если
и
имеют пределы
и
,
то
и
Доказательство:
На
основании критерия существования
предела числовых последовательностей
на языке б/м числовых последовательностей
имеем
,
где
- б/м ч.п. и
,
где
- б/м ч.п.
.
Здесь переменная
является
бесконечно малой как сумма двух
бесконечно малых переменных. И тогда
представление
по критерию означает, что
.Разность переменных рассматривается аналогично.
На основании
свойств бесконечно малых 20 и 30
,
и
также являются также бесконечно малыми.
Обозначим
.
На основании
свойства 10
-
б/м числовая последовательность.
Тогда
,
что по критерию означает
.
Т2. Если
и
имеют
соответственно пределы
и
,
причем
и
,
то
Лемма Больцано - Вейерштрасса:
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Df:
называется последовательностью вложенных
друг в друга сегментов(отрезков), если
Df:
Последовательность
,
вложенных друг в друга отрезков называется
стягивающейся, если
Принцип стягивающихся сегментов (Лемма о вложенных отрезках).
Любая последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков имеет одну единственную общую точку.
Доказательство:
Существование общей точки.
Пусть
последовательность вложенных друг в
друга отрезков. Тогда
.
Это означает, что
- неубывающая ограниченная сверху
последовательность и, следовательно,
имеет
.
Аналогично из
следует, что
- невозрастающая ограниченная снизу
последовательность. Следовательно
имеет
.
Т.к.
последовательность стягивающихся
вложенных друг в друга отрезков, то
=0.
Тогда
=
.
Обозначим их общее значение с.
Покажем, что точка с является общей точкой всех отрезков.
На основании
следствия из теоремы о пределе монотонной
ограниченной последовательности
следует, что
,
т.е. с есть общая точка всех отрезков.
Единственность общей точки отрезков.
Применим метод
от противного. Пусть существует ещё
одна общая точка
.
Для определенности можно положить
.
Тогда
.
Из последнего следует
, что эквивалентно
или
.
Так как по условию , то по определению предела
.
В силу произвольности
,
можем взять
.
Тогда из предыдущего неравенства
следует,
.
Таким образом получено, что
.
Это неравенство противоречивое. Значит
точка с единственна
Th: О пределе промежуточной последовательности (о двух полицейских).
Если общие члены
,
и
последовательностей начиная с некоторого
номера
связаны неравенством
и
=
,
то существует
.
Доказательство:
По условию
теоремы
и
.
Обозначим
Тогда
будут одновременно выполняться
неравенства
Таким образом
.
Что требовалось доказать.
Лемма Больцано-Вейерштрасса
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Предел функции в точке.
Df:
Точка
называется предельной для некоторого
множества
или точкой сгущения для
,
если любая проколотая окрестность точки
содержит хотя бы одну точку из множества
.
Можно
утверждать, что предельная точка
множества не обязательно принадлежит
самому множеству. Например, точка
является предельной для множества
членов последовательности
,
однако она ему не принадлежит.
Df:
(Определение предела функции по Коши)
Говорят, что функция
на множестве
при
имеет своим пределом число
,
если для
и таких, что
.
Df:
(Определение предела функции по Гейне)
Говорят, что функция
на
при
имеет своим пределом число
,
если
(
,
- предельная точка
).
Символически
это обозначают как
.
Односторонние пределы функции означают следующие:
«слева»
означает, что
,
«справа»
означает,
что
.
Правила нахождения пределов функций
Теорема 1. Если существуют конечные
пределы
и
,
то
существуют
пределы
,
.
Здесь
и
определены соответственно в
и
,
а точка
- предельная точка и для
и для
,
- область определения для
и
.
Если же
и
существуют конечные пределы
и
,
то
.
(
и
определены соответственно в
и
,
- область определения
)
Теорема пределе промежуточной функции
Пусть функции
,
и
на некотором множестве
связаны неравенством
и существуют конечные равные
,
тогда
(
- предельная точка множества
).
Df: О единстве предела функции.
Если функция
имеет на множестве
,
то он единственен.
I
Замечательный предел
.
Докажем вспомогательный факт.
Для
.
1) Для
это неравенство выполняется,
т.к.
.
2
)
Пусть
.
Построим окружность единичного радиуса.
Рассмотрим
плоские фигуры:
,
,
сектор
.
Из равенств
,
и
следует
и
.
Отсюда:
.
3) Теперь рассмотрим
множество
.
Если
,
то
,
и тогда из предыдущего следует
.
В силу нечётности функций sinx и tgx получаем
для
- любого х из
.
А тогда уже
получается, что
справедливо
.
Следствие:
.
Выше показали: .
Рассмотрим
теперь
.
Здесь
.
Доказательство .
Ранее уже показано, что
.
Разделим последнее неравенство на
.
.
Отсюда следует, что
. Далее следует
и
.
А потом
и
.
На основании теоремы о пределе промежуточной функции из последнего следует
.
Далее на основании
критерия существования предела при
,
на языке б/м.
Из того, что
и того, что
.
Теперь пусть
.
Тогда
.И
теперь
(
).
На основании полученного следует, что .
Следствие:
На основании определения эквивалентности бесконечно малых переменных
Из
при
.
Так как
,
Пример:
I способ.
.
II способ.
.
Число
и связанные с ним замечательные пределы.
степенно-
показательная функция. При
неопределенность
.
Можно показать,
что последовательность
- не убывает и ограничена сверху.
По Th о пределе
монотонной и ограниченной сверху
последовательности следует
.
Его обозначили е . Вычисления
показывают, что
…
Это бесконечная непериодическая десятичная дробь (иррациональное число).
.