1. Численное решение.

Здесь .

Будущая стоимость аннуитета. Аннуитет – это последовательность равных платежей, которые производятся через фиксированные интервалы времени на протяжении заданного срока. Например, выплата 100 ден. ед. в конце каждого из трех последующих лет – это трехлетний аннуитет. Если платежи производятся в конце каждого периода, как это обычно и происходит, аннуитет называется обычным, или отсроченным аннуитетом (постнумерандо). Купонные платежи по облигациям, кредиты на покупку автомобилей, а также студенческие кредиты устанавливаются в виде обычных аннуитетов. Если же платежи производятся в начале каждого периода, годовой взнос называется ускоренным аннуитетом (пренумерандо). Платежи за аренду квартиры, премии по страхованию обычно представляют собой ускоренные аннуитеты. Поскольку обычные аннуитеты встречаются на практике чаще, то под термином «аннуитет», если не будет оговорено иное, понимается именно обычный аннуитет.

Обычные аннуитеты (постнумерандо). Обычный (отсроченный, постнумерандо) аннуитет состоит из ряда равных платежей, осуществляемых в конце каждого периода. Если класть по 100 ден. ед. в конце каждого года в течение трех лет на депозит, приносящий 5% годовых, какова была бы сумма счета через три года? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти будущее значение аннуитета, FVA_n. Предполагается, что на каждый платеж, осуществленный в период n, производится начисление сложных процентов начиная с периода n + 1.

Временной график наращенной суммы аннуитета в условиях постнумерандо

Здесь показано, как каждая из выплат подлежит наращению сложного процента, а их сумма дает значение FVA_n.

Найдем формулу для расчета будущей стоимости простого аннуитета:

(7.3)

где FVA_n – будущее значение аннуитета; PMT – величина аннуитета; FVIVA_i,n – коэффициент наращения аннуитета.

Первая строчка (7.3) представляет собой формулу (7.1), примененную к каждому отдельному платежу аннуитета. Другими словами, на каждый платеж начисляется сложный процент, а степень показывает число периодов, в течение которых производится это начисление. Например, поскольку первый платеж производится в конце года 1, проценты будут начислены в годы со 2-го до n-го, а степень будет равна n – 1, сложный процент второго платежа образуется в годы с 3-го до n-го, или на протяжении n – 2 периодов, и т. д. Последний платеж совершается в конце срока аннуитета, поэтому начисление процентов уже не производится.

В дальнейшем в формуле (7.3) используется известная из школьной алгебры формула суммы геометрической прогрессии. Этот вид (7.3) оказывается особенно полезным, если у вас под рукой нет финансового калькулятора. Наконец, в конце видно, что будущая стоимость аннуитета равна величине годового платежа, умноженной на множитель будущего значения обычного аннуитета, который в свою очередь равен сумме геометрической прогрессии.

1. Численное решение.

По формуле (7.3) будущая стоимость вклада, описанного выше, составит:

ден. ед.

Ускоренный аннуитет (пренумерандо). Если бы три платежа по 100 ден. ед., рассмотренных в предыдущем примере, производились в начале каждого года, то, аннуитет назывался бы ускоренным (пренумерандо). На временном графике каждый платеж сдвигался бы на период ранее, потому что на его сумму начислялись бы проценты за время на один год больше.

Временной график наращенной суммы аннуитета в условиях пренумерандо

Очевидно, что в данном случае сумма процентов больше, чем в предыдущем, и будущая стоимость аннуитета также оказывается больше:

(7.4)