12. Моделирование трехмерных поверхностей порциями поверхностей Кунса

В приведенных моделях сегментов трехмерных поверхностей для описания каждого сегмента использовались уникальные кубические уравнения.

Идея метода моделирования поверхности по Кунсу (S.A.Coons) заключается в замене уникальных описаний, формируемых для каждого сегмента парой функций F₀(t) и F₁(t).

Сегмент поверхности в модели Кунса описывается четырьмя параметрическими кривыми. Эти кривые должны иметь четыре точки пересечения, которые будут углами данного сегмента.

Функции F₀ и F₁ описываются следующими выражениями:

где

Рассмотрим производные этих функций:

Обе функции F₀ и F₀ имеют нулевые производные на концах отрезка [0, 1]. Положение любой точки внутри сегмента поверхности определяется суперпозицией функций: F₀(u), F₀(v), F₁(u), F₁(v) . Для произвольной точки (u₀,v₀) значение функции будет иметь следующий вид:

Касательная в любой произвольной точке внутри сегмента поверхности находится с помощью производной. Например, касательная в точке P(v₀,u) находится с помощью производной по v функции F в начальной точке кривой P(v₀,0) , тогда первые производные:

тогда

После вычисления производных в концевых точках можно использовать их величины для вычисления производных в любой точке, расположенной на этой же кривой.

Рассмотрим вычисление касательного вектора в произвольной точке на примере.

Таким образом, векторы PC, PB, PA, начинающиеся в точке P(v₀,u) соответствуют следующим величинам:

В граничащем сегменте поверхности производная определяется по параметру, связанному с этим граничным сегментом: dP/dw.

Эта производная может быть также рассчитана на основе производных в концевых точках: dP₀₀/dw и dP₁₀dw. Для того, чтобы векторы, определяющие результирующие касательные в точке P относительно двух сегментов были коллинеарны для обеспечения гладкости необходимо, чтобы параллелограмм PACB и C’B’A’P′ были подобны. Следствием из этого является равенство:

Подобные соотношения определяются для четырех сторон сегмента.

Одним из свойств полученного решения является равенство нулю смешанных производных в углах каждого сегмента (порции):

Отсюда следует, что поверхности в области угловых точек будут плоскими, т.к. радиус кривизны равен нулю. С другой стороны возникает проблема потери исходных данных. Это объясняется тем, что модель Кунса также как и модель Эрмита описывается матрицей исходных данных Q:

Полная матрица модели Эрмите содержит Q=16X3=48 элементов. А для модели Кунса матрица содержит Q=(16-4)X3=36 элементов.

В случае применения модели Кунса для решения системы уравнений не будет хватать исходных данных, т.к. подматрица, определяющая показатели кривизны является нулевой. Для того чтобы получить однозначное решение в качестве недостающих исходных данных используют координаты четырех произвольных точек, находящихся внутри сегмента. Для того чтобы устранить недостаток, связанный с получением нулевого радиуса кривизны в качестве функций 0 F и 1 F выбираются полиномы более высокой степени. Наиболее часто используются уравнения пятой степени, имеющие следующий вид:

В этом случае, вторые производные будут отличны от нуля, что сохраняет непрерывность радиуса кривизны в угловых точках.