3.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Кратные системы счисления

Что за величина 110101₂? Чтобы понять много это или мало, нужно перевести его в десятичную систему. Принцип тот же, как мы и представляли десятичное число. Только в сумму нужно подставлять степень двойки:

110101₂ =1* 2⁵ +1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² +0* 2¹ +1*2⁰ = 53₁₀

FC₁₆ = 15*16¹ +12 *16⁰ = 240 +12 = 252₁₀

Независимо от системы счисления, число всегда может рассматриваться в качестве полинома «по p», где p – основание.

abcd = a*p³ +b*p² +c*p¹ +d*p⁰

Значение цифр a,b,c,d находится между 0 и p–1

Правило перевода целых чисел из десятичной системы в двоичную

Для получения двоичного представления десятичного числа достаточно:

1. Разделить заданное число с остатком.

2. Если полученное частное отлично от нуля, то разделить его на два с остатком иначе перейти к пункту 4.

3. Выполнять пункт 2, пока очередное частное не станет равным нулю.

4. Выписать полученные остатки в обратном порядке и составить из них двоичное число.

Пример: 37₁₀ = 100101₂

Отметим, что данное правило естественным образом обобщается для перевода десятичного числа в любую позиционную систему счисления.

С двоичной системой счисления имеет тесную связь шестнадцатеричная система, которую применяют для удобной и компактной записи двоичных чисел. Каждой шестнадцатеричной цифре соответствует один двоичный четырехразрядный набор и обратно. Это соответствие можно записать в виде таблицы.

Таблица 2.3. Таблица тетрад

Десятичное число	Двоичный набор	Шестнадцатеричная цифра
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Таблица тетрад позволяет переводить из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно без выполнения арифметических операций, а только посредством группировки цифр и соответствующей замены. Если задано двоичное число, то оно разбивается на тетрады слева направо с дозаписью слева необходимого числа нулей и тогда вместо каждой тетрады записывается шестнадцатеричная цифра. Обратный перевод очевиден.

Пример. 0110 0111 0110 = 676H, A2CDh = 1010 0010 1100 1101.

Для десятичной системы подобное правило перевода неприменимо.

Общая формула записи произвольного (целого или дробного) числа в системе счисления по основанию P имеет вид:

Пример.

Правило перевода дробных чисел из десятичной системы в двоичную

Для получения двоичного представления десятичного числа достаточно:

1. Если целая часть числа отлична от нуля, то ее перевести отдельно (по известному правилу).

2. Дробную часть числа умножить на 2. Целая часть полученного произведения является первой цифрой после запятой в искомом числе.

3. Дробную часть полученного произведения вновь умножить на 2. Целую часть полученного числа приписать справа к результату.

4. Выполнять пункт 3, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет выделен период (то есть повторится ранее полученная дробная часть).

Пример. Перевести числа в двоичную систему.

1. 46,625₁₀.

46₁₀ = 101110₂.

0,625*2=1,25  1

0,25*2 =0,5  0

0,5*2=1,0  1

Таким образом, 46,625₁₀ = 101110,101₂.

2. 0,1₁₀.

0,1*2=0,2  0

0,2*2 =0,4  0

0,4*2=0,8  0

0,8*2=1,6  1

0,6*2 =1,2  1

0,2*2=0,4  0

0,4*2=0,8  0

0,8*2=1,6  1

0,6*2 =1,2  1

Таким образом, 0,1₁₀ = 0,0(0011)₂.

По этому же правилу осуществляется перевод десятичных дробей в другие системы счисления.