§ 3. Системы счисления

Система счисления – это способ представления чисел с помощью числовых знаков (цифр) и соответствующие ему правила действия над числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на: непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления – такие системы счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне.

В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Например, значение числа CCXXXII = 200+30 +2=232

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются. Например:

VI = 5+1 =6 IV = 5–1 =4

MCMXCXI = 1000 +(–100 +1000) + (–10 +100) +(10–1) = 1999

На Руси вплоть до XVIII в. использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак титло (тильда).

Например, А – 1, Д – 4, Р – 100. Интересно, что существовали обозначения очень больших величин. Самая большая величина называлась «колода». Это число равно 10⁵⁰ .

Непозиционные системы были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и делении.

3.1. ПОзиционные системы счисления: двоичная, восьмиричная, шестнадцатирИчНая

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в древнем Вавилоне.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно 10, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0,1, 2, ... 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа.

345 =3 *100 + 4 *10 + 5

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число больше 1. Упомянутая вавилонская система имела основание 60. Следы этой системы сохранились до наших дней в порядке счета единиц времени (1 час= 60 мин, 1 мин= 60 с).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Таблица 2.1. Алфавиты некоторых систем счисления.

основание	название	алфавит
n = 2	двоичная	0 1
n = 8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n =10	десятеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n = 16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

В информатике широко применяется шестнадцатеричная система. Здесь первые десять цифр эквивалентны соответствующим десятичным цифрам, а остальные образованы следующим образом: A=9+1, B=A+1, C=B+1, D=C+1, E=C+1, F=E+1.

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: 1101₂, 367₈, 3В8Е₁₆

Разрешается после записи шестнадцатеричного числа дописывать символ H (либо h), что снимает необходимость приписывать к числу индекс 16.

Таблица 2.2. Арифметические операции в двоичной системе счисления

Сложение	Вычитание	Умножение
0 +0 = 0	0 – 0 =0	0*0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	1*0 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	0*1 = 0
1 + 1 =10	10 – 1 = 1	1*1 = 1

С помощью этой таблицы легко получить двоичное представление десятичных чисел.