Расчет монолитной плиты перекрытия по деформациям

Пример 8. Дано: монолитная железобетонная плита с арматурой из СПН марки Н80А-674-1,0, R_n=220 МПа, A_n=3,05 см²_, I_n=185,58 см⁴ на 1 м ширины настила, а на полосу b_f=16,86 см I_n=(185,58·16,86)/100=31,3 см⁴. Настил расположен широкими полками вниз h_f=12 см. Пролет плиты 3 м. Бетон класса В15, Е_b=23·10³ МПа, R_b=8,5 МПа·0,85=7,23 МПа, М_n=4125 Н·м (без учета собственной массы плиты).

Требуется определить прогиб плиты.

Расчет. Полный прогиб плиты определяем согласно указаниям п. 4.24 по формуле (25):

f_m=f_rc+f_add≤1/150i.

Расчет ведется для приведенного сечения.

Коэффициент приведения находим по формуле (32):

α_n=E_n/E_b=2,1·10⁵/23·10³=9,13.

Приведенная площадь стального профилированного настила

A_red=A_nα_n=3,05·9,13=27,85 см².

Статический момент приведенного сечения настила относительно крайней сжатой грани плиты равен:

S_red=A_red(y_c+h_f)=27,85(4,288+8)=453,6 см³.

Определяем по формуле (34) расстояние центра тяжести приведенного сечения плиты от крайней сжатой грани бетона:

Вычисляем момент инерции приведенного сечения I_red без учета бетона растянутой зоны:

Кривизну 1/r от действия длительных нагрузок без учета собственной массы плиты определяем по формуле (27):

1/r=(M_n,spanφ_b2)/(I_redE_b φ_b1)=(4125·2)/(4446·23·10³·0,85)=9,5·10^-5 1/см.

По формуле (26) находим прогиб железобетонной плиты f_rc при s=5/48 (см. табл. 3):

f_rc=(1/r)si²=9,5·10^-5(5/48)300²=0,89 см

и дополнительный прогиб плиты перекрытия от действия нагрузок в процессе эксплуатации при s=1/8 (по аналогии с загрузкой моментами на опорах).

Дополнительную кривизну 1/r_add, обусловленную податливостью анкерных связей, рассчитываем по формуле (29).

Значение коэффициента жесткости анкера вычисляем по формуле (31):

ε_a=0,15п_аndE_b=0,15·1·1,4·23·10³=483 кН/см.

Определяем по формуле (30) сдвиг настила относительно бетона:

Δ⁼M_n,span/[ε_a(h_o-0,5x)]=412,5/[483(16,29-0,5·4,4)]=0,06 см,

где х=(0,8R_nA_n)/(R_bb_f)=(0,8·220·3,05)/(7,23·16,86)=4,4 см.

Вычисляем дополнительную кривизну плиты:

1/r_add=k’Δ/(0,75ih_o)=(2·0,06)/(0,75·300·16,29)=3,27·10^-5 1/см.

Рассчитываем дополнительный прогиб плиты:

f_add=(1/r_add)si²=3,27·10^-5(1/8)300²=0,38 см.

Таким образом, полный прогиб плиты

f_m=f_rc+f_add=0,89+0,38=1,2 см < 2

(2 см - предельно допустимый прогиб, равный 1/150i).

Следовательно, жесткость плиты обеспечена.

Расчет комбинированной балки

Пример 9. Дано: комбинированная балка, состоящая из монолитной железобетонной плиты с внешней арматурой из стального профилированного настила марки Н80А-674-1,0 (R_n=220 МПа, А_n=3,05 см²). Настил уложен широкими полками вниз. Плита опирается на стальные прогоны. Совместная работа плиты с прогонами обеспечивается вертикальными стержневыми анкерами. Шаг прогонов i равен 200 см.

Плита: бетон класса В20 (R_b=11,5·0,85=9,78 МПа; R_bt=0,9 МПа; E_b=27·10³ МПа), высота полки плиты h_f=7 см.

Прогон: 135Б2 (h_sg=35 см; b_sg=b’_sg=15,5 см; δ=0,6 см; δ_sg=δ’_sg=1,05 см; A_sg=54 см²; I_sg=11600 см⁴; R_sg=230 МПа; E_sg=2,1·10⁵ МПа; i_sg=600 см).

Вертикальные стержневые анкеры, из горячекатаной арматурной стали класса A-III, d=14 мм; A_an=1,539 см². В одном гофре плиты приварены два анкера. R_sa=375 МПа, шаг анкеров u=16,86 см, расстояние между анкерами в одном гофре a_o=7 см, h_a=13 см. Расчетная нагрузка 425,2 Н/см.

Требуется определить продольную силу T в сечениях, нормальных к продольным осям прогона и полки плиты, и сдвигающее усилие T₁, приходящееся на наиболее напряженную крайнюю анкерную связь.

Расчет. Определяем максимальный изгибающий момент в пролете комбинированной балки:

M_span=qi²/8=(425,2·600²)/8=19134 кН·см.

Ширину полки комбинированной балки b_h согласно указаниям п. 3.16 СНиП 2.03.01-84 принимаем равной 200 см.

Находим по формуле (38) продольную силу T в соответствии с указаниями пп. 5.2 и 5.3:

T=vM_spank_t/[γ(E_sgI_sg+E_bI_rs)].

Здесь v - расстояние между центром тяжести прогона и полки плиты, равное:

v=h_f/2+h_n+h_sg/2=7/2+8+35/2=29 см;

I_rs=(b_bh³_f)/12=(200·7³)/12=5717 см⁴;

γ=1/(E_sgA_sg)+1/(E_bA_rs)+v²/(E_sgI_sg+E_bI_rs)=

=1/(2,1·10⁵·54)+1/(27·10³·200·7)+29²/(2,1·10⁵·11600+27·10³·5717)=

=0,044·10^-51/(МПа·см²),

где A_rs - площадь полки плиты, см².

Значение k_t находим по табл. 4. Оно зависит от λi

Величину λ вычисляем по формуле (40):

где ε_w - погонный коэффициент жесткости, равный:

ε_w=ε_an_an/u.

Коэффициент жесткости вертикального анкера на сдвиг определяем по формуле

ε_a=k_adE_b=0,13·1,4·0,27·10⁵=0,049·10⁵ МПа·см².

Следовательно,

ε_w=(0,049·10⁵·2)/16,86=0,0058·10⁵ МПа,

откуда

λi=0,016·600=9,6.

Значение коэффициента k_t по табл. 4 принимается равным 0,914. Таким образом, продольная сдвигающая сила Т составляет:

Т=29·19134·0,914/[0,044·10^-5·2,1·10⁵·11600+ 27·10³·5717)]=445,038 кН.

Определяем сдвигающее усилие Т₁, приходящееся на крайнюю анкерную связь.

Опорная реакция R=qi/2=(425,2·600)/2=127,56 кН.

В зависимости от λi по табл. 4 находим значение коэффициента k_τ=0,79.

Сдвигающее усилие T₁ рассчитываем по формуле (44):

T₁=vRuk_τ/[γ(E_sgI_sg+E_bI_rs)]=

=29·127,56·16,86·0,79/[0,044·10^-5(2,1·10⁵·11600+27·10³·5717)]=43,23 кН.

Пример 10. По данным примера 9 определить прочность анкерной связи прогона с плитой.

Расчет. Прочность анкерной связи прогона с плитой считается обеспеченной при соблюдении условия Т₁≤T_аn. При этом T_аn принимается меньшей из трех величин: T’_аn, T_b, T_b1.

Определяем величину несущей способности связи по анкерам T’_аn по формуле (45):

T’_an=m_pk_pR_saA_ann_an.

Коэффициент k_p находим по формуле (46):

сдвигающее усилие

T’_an=1·0,348·375·1,539·2=40,17 кН.

По формуле (47) находим величину несущей способности связи по выкалыванию бетона вокруг анкерных стержней.

T_b=1,7R_btA_c.

Здесь А_c=b’(а_o+2h_a)-h_n(b’-b),

где b’=16,86-5=11,86 см.

Откуда

А_с=11,86(7+2·13)-8(11,86-9,3)=370,62 см².

Следовательно

T_b=1,7·370,62·0,9=56,7 кН.

Вычисляем по формуле (48) величину несущей способности связи по срезу бетона стержнями вдоль прогона:

T_b=R_btA’_cn.

Здесь n=2; А’_с - площадь сечения плиты по ширине одного кофра настила, определяемая по формуле

A’_c=b_fh_f+0,5(b+b’)h_n=16,86·7+0,5(9,3+11,86)8=202,66 см².

Таким образом

Т_b1=0,9·202,66·2=36,48 кН.

Следовательно, меньшая из трех величин

T_an=T_b1=36,48 кН < T₁ = 43,23 кН.

Так как Т_an<T₁ (см. пример 9), для усиления анкеровки плиты по концам балок предусматриваем упоры по пп. 3.15 и 5.6.

Пример 11. По данным примера 9 требуется определить прочность нормального сечения.

Расчет. Прочность нормального сечения зависит от соотношения величин N_sg, N_b, T’.

Вычисляем по формуле (49) несущую способность стального прогона на растяжение N_sg:

N_sg=R_sgA_sg=230·54=1242 кН.

Несущую способность бетонной полки плиты на сжатие определяем по формуле (50):

N_b=R_bb_bh_f=9,78·200·7=1369,2 кН.

Несущую способность связей прогона с плитой рассчитываем по формуле (51):

T’=Т(T_an/T₁).

где T=445,038 кН, Т=43,23 кН (см. пример 9), T_an=36,48 кН (см. пример 10).

Таким образом,

T’=445,038(36,48/43,23)=375,549 кН.

Так как T’<N_sg и Т’<N_b, расчет ведем по второму случаю п. 5.7 настоящих Рекомендаций. Для этого проверяем условие (55):

N≥R_sg(A_sg-2A’_sg)=230(54-2·16,3)=492,2 кН.

где

A’_sg=δ’_sgb’_sg=1,05·15,5=16,3 см².

Принимаем N меньшей из величин N_b и T’.

В данном случае N=T’=375,549 < 492,2. Следовательно, граница сжатой зоны прогона пересекает его стенку.

Расчет ведем по случаю 2б. Принимаем N=375,549 кН.

По формуле (57) определяем расстояние от верха прогона до границы его сжатой зоны:

а=[A_sg-(N/R_sg)-2δ’_sg(b’_sg-δ)]/2δ=[54-(375,549/23)-2·1,05(15,5-0,6)]/(2·0,6)=5,3 см.

Прочность сечения проверяем по условию (58):

М_span≤N(H-h_sg+a-x/2)+R_sg{b_sgδ_sg(h_sg-a-δ’_sg/2)+

+b’_sg(a-δ’_sg/2)+[δ(h_sg-δ’_sg-δ_sg)(h_sg+δ’_sg-δ_sg-2a)]/2)},

где высота сжатой зоны бетона

x=N/(R_fb_b)=375,549/(0,978·200)=1,92 см.

Тогда

М_span≤M=375,549(50-35+5,3-0,5·1,92)+

+23{15,5·1,05(35-5,3-1,05/2)+15,5·1,05(5,3-1,05/2)+

+[0,6(35-1,05·2)(35+1,05-1,05-2·5,3)/2]}=24810,8 кН см > 19134.

Следовательно, прочность сечения обеспечена.

Пример 12. По данным примера 9 требуется определить прогиб комбинированной балки. Нормативный изгибающий момент от постоянной и временной нагрузок М_n,span без учета собственной массы балки и плиты составляет 132,75 кН·м.

Расчет. Прогиб комбинированной балки находим по формуле (60):

f_mc=f_rc+f_sg.

Здесь

f_rc=(1/r_rc)si²,

где 1/r_rc - полная кривизна комбинированной балки, определяемая по формуле (61).

Кривизну комбинированной балки 1/r_f от эксплуатационной нагрузки без учета податливости анкерных связей рассчитываем по формуле (62):

1/r_f=(M_n,spanφ_b2)/(I_redE_bφ_b1).

Находим момент инерции приведенного сечения комбинированной балки:

I_red=aI_sg+[(b_bh³_f)/12]+b_bh_fy²_c+αA_sg(v-y²_c),

где α=E_sg/E_b=2,1·10⁵/2,7·10⁴=7,78; v=29 см (см. пример 9); y_c - центр тяжести приведенного сечения, определяемый по формуле

y_c=S_red/A_red=(αA_sgv)/(b_bh_f+αA_sg)=(7,78·54·29)/(200·7+7,78·54)=6,69 см.

Таким образом,

I_red=7,78·11600+[(200·7³)/12]+200·7·6,69²+7,78·54(29-6,69)²=67732 см⁴.

Следовательно, кривизна 1/r_f равна:

1/rf=(13275·2)/(67732·2,7·10³·0,85)=0,000031 1/см.

Кривизну 1/r_a, обусловленную податливостью связей, определяем по формуле (63):

1/r_a=k_f1/r_f{[φ_b1E_bI_red/(φ_b1E_bI_rs+φ_b2E_sgI_sg)]-1},

где

I_rs=(b_bh³_f)/12=(200·7³)/12=5717 см⁴.

Значение коэффициента k_f находим по табл. 5 в зависимости от λi по интерполяции. λi=10 (см. пример 9). Коэффициент k_f=0,097.

Следовательно, кривизна, обусловленная податливостью анкерных связей, равна:

1/r_a=0,097·3,1·10^-5{[0,85·2,7·10⁶·346723/(0,85·2,9·10⁶·5717+

+2·2,1·10⁷·11600)]-1}=0,21·10^-5 1/см.

Таким образом, полная кривизна комбинированной балки

1/r=3,1·10^-5+0,21·10^-5=3,31·10^-5 1/см.

Находим полный прогиб комбинированной балки в процессе эксплуатации:

f_rc=3,31·10^-5(5/48)600²=1,24 см.

Определяем прогиб стального прогона от действия собственной массы и массы перекрытия:

f_sg=5/384[(qi⁴)/(E_sgI_sg)].

где q - суммарная нагрузка, действующая на прогон в стадии возведения, равная 89,1 Н/см.

Получаем

f_sg=5/384[(89,1·600⁴)/(2,1·10⁷·11600)]=0,62 см.

Полный прогиб балки f_mc равен:

f_mс=1,24+0,62=1,86 см < f =2,5 см.

(по СНиП 2.03.01-84), т.е. прогиб в допустимых пределах.

Следовательно, жесткость комбинированной балки обеспечена.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 3 2. МАТЕРИАЛЫ 3 3. КОНСТРУКТИВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ 4 4. РАСЧЕТ ПЛИТЫ 7 5. РАСЧЕТ КОМБИНИРОВАННОЙ БАЛКИ 18 Приложение 24 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА 24