15. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если прямая проходит через точки и , то ее направляющим вектором можно считать вектор .

Уравнением прямой, проходящей через две точки и называется уравнение вида

В случае, когда один из знаменателей равен нулю ( соответствующий числитель тоже равен нулю ( :

если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид

если , то прямая, проходящая через точки и , параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки, находится по формуле

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и

Решение.

или , так как , то прямая имеет уравнение , значит она параллельная оси ординат.

16.Общее уравнение прямой.

Общим уравнением прямой называется уравнение вида

Где A,B,C – произвольные числа, причем .

Частные случаи:

Если и , то общее уравнение прямой имеет неполный вид

и определяет прямую проходящую через начало координат

Если и , то и определяет прямую параллельную оси

Если и , то – прямая параллельная оси

Если , то прямая совпадает с осью .

Если ,то прямая совпадает с осью .

При общее уравнение прямой можно записать в виде:

Пример. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол .

Решение. Найдем угловой коэффициент . Подставив в уравнение имеющиеся значения , получим . Приравняем равенство к нулю , избавимся от знаменателя для чего умножим обе части равенства на , получим общее уравнение прямой .

17Уравнение прямой в отрезках.

Преобразуем общее уравнение прямой следующим образом: перенесем в правую часть , разделим на получим получаем уравнением прямой в отрезках которое имеет вид:

,где

абсцисса точки пересечения прямой с осью

ордината точки пересечения с осью Оу .

Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.

Формулу удобно использовать для построения прямой.

Для построения прямой достаточно взять две ее точки:

при

Пример. Составить общее уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки ,

Решение. Воспользовавшисьуравнением прямой в отрезках , имеем , перепишем его в виде или .

Пример. Составить уравнение прямой проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью равной 2 кв.ед.

Решение. Запишем уравнение искомой прямой в отрезках нужно найти a и b.

Так как прямая проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой: или

Площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла, равна или .

Таким образом, нужно решить две системы уравнений:

Решая первую систему , получим

Решая вторую систему

Получим

Условию задачи удовлетворяют три прямые:

18. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно, – канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или . Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде. Обозначим , отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси. Аналогично, каноническим уравнениям

соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Примеры. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1;0;-2) параллельно вектору . Канонические уравнения:

Параметрические уравнения: