5. Смешанное произведение векторов

Векторно-скалярное произведение трех векторов a , b и c или смешанное их произведение вычисляется по формуле

(31)

Абсолютная величина векторно-скалярного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a ,b и c . Объем пирамиды, построенной на векторах a, b и c , получим по формуле

(32)

причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы a ,b и c не лежат в одной плоскости).

Три вектора a ,b и c называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

5.деление отрезка в данном отношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , )и ( , ) и дано отношение , в котором точка М делит отрезок то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам ,

1)Площадь треугольника по известным координатам его вершинA(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) вычисляется по формуле

Полученное с помощью этой формулы число следует взять по абсолютной величине.

2)Площадь многоугольника с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), ..., F(xn, yn) равна

Выражение вида равно x1y2 - x2y1 и называется определителем второго порядка.

6)преобразование системы координат.

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

,

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат). Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами ,

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы ,

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

7. Преобразование прямоугольных координат при повороте осей.

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)

Поворот координатных осей (рис. 4.9)

Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)

8. Линии на плоскости. Понятие уравнения линии.

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию. Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Равенство вида F(x; y)=0 называется уравнением с двумя переменными x, y, если оно справедливо не для всяких пар чисел x, y. Говорят, что два числа , удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y)=0, если при подстановке этих чисел вместо переменных x и y в уравнение его левая часть обращается в нуль. Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней. В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x; y)=0» мы часто будем говорить короче: «дана линия F(x; y)=0».

Если даны уравнения двух линий F(x,y)=0 и Ф(x, y)=0, то совместное решение системы F(x,y)=0, Ф(x, y)=0 дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.