29. Поверхности 2-го порядка. Конусы и цилиндры.

Конус.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и

пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется

конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется

направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая

поверхность, называется образующей.

- уравнение конуса

21. Поверхности 2-го порядка. Уравнения параболоидов. Цилиндры 2-го порядка Исследование формы методом сечений.

28. Поверхности 2-го порядка. Параболоиды.

Эллиптический.

При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается

соответственно параболы

и . Таким образом,

поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно

расширяющейся чаши.

Гиперболический.

Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую

которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси

параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия

пересечения распадается на пару пересекающихся прямых:

При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h),

будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх.

Цилиндр.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в

пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую

кривую К, называется цилиндром. При этом кривая К называется

направляющей цилиндра, а прямая L – образующая.

- уравнение цилиндра

22. Характеристический многочлен матрицы (линейного преобразования).

 Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е₁, е₂, е₃, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае₁, Ае₂, Ае₃, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

                    Ае₁ = а₁₁ е₁ + а₂₁ е₂ +а₃₁ е₃,

                    Ае₂ = а₁₂ е₁ + а₂₂ е₂ + а₃₂ е₃,                                                                     (9.2)

                    Ае₃ = а₁₃е₁ + а₂₃ е₂ + а₃₃ е₃    .

Матрица      называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, е_3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

      

уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

                            | A -  λE | = 0,                                                                            (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ   | A -  λE| называется характеристическим многочленом  матрицы А.

 

                   Свойства характеристического многочлена:

1)       Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.                                                                                                           Доказательство.  (см. (9.4)), но   следовательно,  . Таким образом,  не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-λE| не изменяется при переходе к новому базису.

2)       Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а_ij=a_ji), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.