4.7. Алгебра нечеткой логики (анл). Формулы, теоремы, законы анл
Введенные понятия степени равносильности, а также эквивалентности нечетких формул позволяют сравнивать их между собой, т.е. сопоставлять паре формул и неко-торое логическое значение в интервале [0,1].
Определение. Алгеброй нечеткой логики (АНЛ) на-зывают множество нечетких логических формул вместе с введенными на них степенью равносильности и эквива-лентностью нечетких формул.
Обозначается эквивалентность нечетких формул ана-логично равенству нечётких множеств знаком “ ”.
Определение. Формулами алгебры нечеткой логики называют все выражения вида , где , - нечеткие логические формулы.
Как и в четкой логике, теоремами называются форму-лы АНЛ, истинные при любых значениях входящих в них переменных. Законами называются основные, наиболее употребительные теоремы. Рассмотрим их.
192
1. Законы действий с нечеткими константами
, , , & , , & , &Ã , ,
где - любая нечеткая формула.
2. Законы де Моргана:
( ) , ( ) .
3. Закон двойного отрицания:
( ) .
4. Идемпотентность:
, .
5. Коммутативность сложения и умножения:
, .
6. Ассоциативность сложения и умножения:
( )( ) , ( )( ) .
7. Дистрибутивность:
( )( )( ),
( )( )( ).
8. Законы поглощения:
( ) , ( ) ,
( )( )( ), ( )( )( ).
9. Законы дополнительности:
, , , ,( )( ) , ( )( ) .
Для строгого доказательства того факта, что некоторая формула АНЛ общего вида
(
(n),
(n),…)
(
(n),
(n),…)
является
теоремой либо законом АНЛ, необходимо
дока-
193
зать, что при любых нечетких логических формулах (n), (n),…, входящих в рассматриваемую формулу АНЛ, степень равносильности ( (n), (n),…) и ( (n), (n),…) будет больше либо равна 0,5.
Для этого можно использовать два способа. Первый заключается в том, что для любых формул (n), (n),…, на произвольном набореn путем раскрытия нечетких логических операций доказывается строгое ра-венство: (n )= (n ), где и - выражения, стоящие в левой и правой части доказываемого закона. Отсюда по Теореме 1 следует эквивалентность и .
Пример 1. Доказать закон двойного отрицания.
Решение. Рассмотрим произвольную формулу (хn ) и со-ответствующие ей функции =( (хn )), = (хn ), стоящие в левой и правой частях закона. По определению операции отрицания для любого набора n :
(n)=( (n))=1-(1- (n )) = (n)= (n).
В силу произвольности формулы (хn ) и набораn из доказанного равенства следует закон двойного отрица-ния.
Второй подход заключается в непосредственном дока-зательстве неравенства ( , ) 0,5. По Теореме 1 следует, что для этого достаточно доказать одновременную истин-ность либо ложность обеих функций на каждом набореn .
Пример 2. Доказать истинность первого закона до-полнительности.
Решение. Рассмотрим произвольные формулы (хn ) и (хn ) и функции, реализующие их. В левой и правой час-
194
тях закона стоят выражения = & , = & .
По определению нечетких логических операций отрицания и умножения для любогоn: =min( (n),1- (n )). Так как одно из чисел (n), 1- (n ) всегда не превышает значение 0,5, то отсюда следует: (n) 0,5. Аналогично можно доказать: (n) 0,5. Поскольку функции одновременно ложны на всех наборах истинности переменных, то по Следствию 2 из Теоремы 1 они нечетко эквивалентны.
Для строгого опровержения утверждения о том, что некоторая формула АНЛ общего вида
( (n), (n),…) ( (n), (n),…) является теоремой АНЛ, достаточно привести хотя бы один пример, в котором степень равносильности формул ( (n), (n),…) и ( (n), (n),…) будет меньше 0,5.
Пример 3. Выяснить, будет ли формула АНЛ являться теоремой АНЛ.
Решение. Рассмотрим в качестве примера нечеткие логические формулы = и = . На значениях переменных =1, =1 значения формул (1,1)=1, (1,1) = 1, =11=0, =11=1. После подстановки в об-щую формулу получим, что ( , )= 0 <0,5. Следова-тельно, рассмотренная формула АНЛ не будет теоремой АНЛ.
Задачи.
1. Выяснить, будут ли теоремами АНЛ формулы:
а) ,
б) ,
в) ( )( ) ,
195
г) ( )( ) ,
д) ( )( ) .
2. Доказать истинность следующих законов АНЛ:
а) первого закона де Моргана,
б) второго закона де Моргана,
в) второго закона дополнительности,
г) третьего закона дополнительности,
д) ,
е) ,
ж) .