4.5. Нечёткие высказывания и переменные. Логические связки. Нечеткие формулы

Определение. Нечетким называется высказывание , степень истинности которого ( ) можно оценить числом из интервала [0,1]. Если  ( )  0,5, то высказывание ложно, если  ( )  0,5; то - истинно. При  ( )=0,5 вы-сказывание называется индифферентным.

Определение. Нечеткой логической константой на-зывается нечеткое высказывание , степень истинности которого постоянна и принимает одно из значений в интер-вале [0,1]. При ( )  0,5, константа называется ложью, при  ( )  0,5 - истиной. Нечеткие константы “ложь” и “истина” также обозначают и .

Определение. Нечеткой логической переменной называется нечеткое высказывание , степень истинности которого может изменяться в интервале [0,1].

Для сокращения выкладок значения истинности вы-сказываний и переменных будем присваивать непосредст-

венно их символам. Например, запись =0,3означает: ( ) =0,3.

На множестве нечетких высказываний вводятся логи-ческие операции, аналогичные элементарным функциям ал-гебры логики.

1. Отрицание нечеткого высказывания :  = 1- .

2. Конъюнкция нечетких высказываний и :  = min ( , ).

3. Дизъюнкция:  = mах ( , ).

4. Импликация:  = mах (1 - , ).

5. Эквивалентность: (  )= min (mах (1 - , ), mах ( , 1 - )).

182

Старшинство операций принято в порядке 1) - 5).

Пример. Найти степень истинности высказывания =     при = 0,8; = 0,3.

Решение. Порядок выполнения действий определяется старшинством логических операций:

1)  = min (0,8; 0,3) = 0,3.

2)  = mах (0,8; 0,3) = 0,8.

3)   = mах (1- 0,8; 0,3) = 0,3.

4) = min( max(1-0,8; 0,3), max (1-0,3; 0,8)) = min (0,3; 0,8) = 0,3.

Определение. Нечеткой логической формулой будем называть:

а) любую нечеткую константу или переменную ,

б) любое выражение вида  ,  ,  ,  , (  ), где , - нечеткие логические формулы.

Введя на множестве нечетких высказываний нулевой элемент, имеющий степень истинности 0, и единичный 1, можно показать, что для элементов данного множества с введенными нулевым и единичным элементом, а также отрицанием, умножением и сложением будут выполняться 13 аксиом булевой алгебры. Следовательно, рассмотренная логика также является булевой алгеброй.

4.6. Степень равносильности. Эквивалентность нечётких формул

Определение. Пусть х₁, ..., х_n - нечеткие переменные. n- мерным нечетким вектором хⁿ называется вектор вида (х₁, ..., х_n).

Определение. Нечеткой функцией, реализующей не-четкую логическую формулу , называется отображение, которое получается после подстановки значений перемен-ных в формулу .

183

Определение. Пусть (хⁿ ) и (хⁿ )- нечеткие ло-гические формулы. Cтепенью равносильности формул (хⁿ ) и (хⁿ )  ( , ) называется величина

 ( , ) =  { (₁, ..., _n)  (₁, ..., _n)}.

^{(1, ..., n)}

где  - конъюнкция по всем возможным наборам степеней истинностиⁿ = (₁,...,_n) вектора хⁿ₌ (x₁,...,х_n). Мно-жество всех возможных наборов степеней истинности  ⁿ векторах ⁿ назовем его полной областью определения Сⁿ.

В отличие от 2-значной логики мощность точек в Сⁿ не конечна, а континуальна. Это затрудняет анализ формул.

Определение. K-разбиением интервала [0,1] назовём

набор чисел ( ₀,  ₁, ..., _k), удовлетворяющий условию: 0 = ₀ <₁ <...<_n = 1. Будем обозначать K - разбиения интер-вала [0,1] через С_k.

Определение. K - разбиение интервала [ 0, 1 ] назо-вем равномерным, если _i = i / k, i= 0,1, ...,k.

Определение. Cеточным k- разбиением полной об-ласти определения Сⁿ называется декартово произведение Сⁿ_k k-разбиений множества С_k интервала [0,1].

Обычно при изучении нечётких функций используют равномерные разбиения, поскольку в этом случае можно проще получить аналитические выражения величин и за-программировать соответствующие вычисления .

Определение. Если  ( , )  0,5 на полной облас-ти, то нечеткие формулы и нечетко эквивалентны.

Обозначается эквивалентность нечетких формул ана-логично равенству нечётких множеств:  .

Определение. Случай  ( , )=0,5 выделяется осо-бо. При этом говорят, что и нечетко индифферентны.

Определение. Если  ( , ) < 0,5 ; то нечеткие фор-мулы и нечетко неэквивалентны.

184

Определение. Степенью неравносильности формул и называется величина  ( , ) = 1 -  ( , ).

Нечеткие формулы, также как и четкие, могут быть рассмотрены только на некоторой части своей полной об-ласти определения Сⁿ. Поэтому наряду с обычной равно-сильностью формул рассмотрим её обобщение на случай произвольных множеств наборов степеней истинности пе-ременных.

Определение. Рассмотрим некоторое множество М полной области определения Сⁿ. Cтепенью равносильности нечетких логических формул (хⁿ) и (хⁿ ) на множестве М называется величина

_М ( , ) =  { (₁, ..., _n)  (₁, ..., _n)},

где  - конъюнкция по всем возможным наборам степеней истинности  ⁿ = (₁, ..., _n), входящих в М.

Понятия эквивалентности, неэквивалентности и ин-дифферентности формул на множестве вводятся по анало-гии с полными понятиями.

Замечание. Нечеткие формулы (хⁿ ) и (хⁿ ), имеющие одинаковые значения истинности на всех набо-рах переменных из некоторого множества М, будут иметь степень равносильности 1 тогда и только тогда, когда реа-лизующие их нечеткие функции одновременно принимают четкие значения истинности - 0 или 1, т.е. являются четкими функциями. Если же функции c одинаковыми зна-чениями истинности принимают хотя бы одно нечеткое зна-чение, то степень их равносильности будет лежать в интер-вале от 0,5 (включительно) до 1: 0,5   ( , )  1.

Так как 0,5 является пороговым значением, то для упрощения практического определения эквивалентности формул можно использовать следующий критерий, выра-жающий её через истинностные значения формул на кон-кретных наборах.

185

Теорема 1. Формулы (хⁿ ) и (хⁿ ) эквивалентны на множестве М тогда и только тогда, когда реализующие их функции на одинаковых наборах (ⁿ ) М одновре-менно ложны ( 0  (ⁿ )  0,5; 0  (ⁿ )  0,5) либо одновременно истинны (0,5  (ⁿ )  1; 0,5  (ⁿ )  1 ). Т.е. на каждом наборе значений истинности переменных функции должны принимать значения истинности по одну сторону от порогового значения 0,5.

Доказательство. 1. Необходимость. Если формулы и эквивалентны, то ( , )> 0,5. Допустим, существует на-бор ⁿ_k, на котором функция формула ложна, а - ис-тинна ( 0  (ⁿ )_k  0,5 и 0,5 (ⁿ )_k  1). По опреде-лению эквивалентности получим:

( (ⁿ )_k  (ⁿ)_k)= min(mах( 1 - (ⁿ )_k, (ⁿ )_k), mах ( (ⁿ )_k, 1 - (ⁿ )_k). Во втором максимуме оба аргумента меньше 0,5. Поэтому на наборе (ⁿ )_k значение функции эквивалентность ( (ⁿ )_k  (ⁿ )_k) = <0,5. Подставляя значение  в формулу для степени равно-сильности, получим:

 ( , )=  { (ⁿ ) (ⁿ )}= min{ (ⁿ )

^{n М}

(ⁿ )}  <0,5.

Это противоречит эквивалентности формул.

Случай 0  (ⁿ )_k  0,5 и 0,5 (ⁿ )_k  1 рас-сматривается аналогично.

2.Достаточность. Пусть на всех наборахⁿ  М обяза-тельно выполняется одно из условий

а) (0  (ⁿ )  0,5; 0  (ⁿ )  0,5) или

б) (0,5  (ⁿ )  1; 0,5  (ⁿ )  1 ).

Раскрывая определение эквивалентности на каждом наборе, получим:

186

( (ⁿ )  (ⁿ ))= min (mах ( 1 - (ⁿ ), (ⁿ )), mах ( (ⁿ ), 1 - (ⁿ )). При выполнении условий а) или б) оба максимума будут содержать аргументы, пре-вышающие 0,5. Поэтому значение эквивалентности на всех наборах будет также превышать 0.5. Поскольку умножение эквивалентностей ( (ⁿ )  (ⁿ )) сводится к опреде-лению минимума их значений, то при этом получим:

 ( , ) > 0,5.

Отсюда по определению следует эквивалентность формул (хⁿ) и (хⁿ ), что и требовалось доказать.

При анализе функций на отдельных множествах, вхо-дящих в полные области определения переменных Сⁿ, часто возникают ситуации, когда обе функции на всём множестве

истинны (либо ложны на всём множестве). В этом случае их эквивалентность можно сразу установить из следствий Тео-ремы 1.

Следствие 1. Если функции, реализующие формулы (хⁿ) и (хⁿ), на всех наборах множества М истинны, то формулы эквивалентны на М.

Следствие 2. Если функции, реализующие формулы (хⁿ) и (хⁿ), на всех наборах множества М ложны, то формулы эквивалентны на М.

Анализируя формулу для степени равносильности, можно доказать и более сильные утверждения.

Теорема 2. Если функции, реализующие формулы (хⁿ) и (хⁿ) на всех наборах множества М истинны и их минимальное значение истинности равно μ_min , то сте-пень равносильности формул μ( , ) = μ_min.

Теорема 3. Если функции, реализующие формулы (хⁿ) и (хⁿ), на всех наборах множества М ложны и их максимальное значение истинности равно μ_mах , то степень равносильности формул

187

μ( , ) = 1- μ_mах.

_{Также на практике часто встречается случай полной равносильности (неравносильности) формул, когда}

μ( , ) =1 ( μ( , )) =0 ).

Критерий полной неравносильности можно предста-вить в следующем виде:

Теорема 4. Функции, реализующие формулы (хⁿ) и (хⁿ) на множестве М, полностью неравносильны тогда и только тогда, когда существует такой наборαⁿ  М, на котором (αⁿ)=0 ; (αⁿ)=1 либо ( αⁿ)=1; (αⁿ)=0.

Пример 1. Определить степень равносильности и эк-вивалентость нечётких функций, реализующих формулы =  , = ¬( & ) на:

а) полной области определения С² ,

б) равномерном сеточном 4-разбиении С² _4,

в) на множестве М={( , )=[(0;0);(0;0,1);(0,1;0);(0,1;0,1); (0;0,2);(0,2;0);(0,1;0,2);(0,2;0,1);(0,2;0,2)]}.

Решение.

а) На наборе значений ( 1 , 1 ) = max( 0 , 1 )=1, =1 - min( 1 , 1) = 0. Поэтому по Теореме 4 формулы полностью неравносильны ( μ( , ) = 0 ) и, следовательно, не эквива-лентны.

б) Набор значений ( 1, 1 ) входит в сеточное 4 - разбиение С² ₄ , поэтому как и в п. а) формулы не эквивалентны.

в) Анализ функций на множестве М проще выполнять в таб-лице, которая приведена ниже.

По определению _М ( , ) =min (  ) по всем на-борам, входящим в М, т.е. по значениям, стоящим в послед-нем столбце таблицы. Получим: _М ( , ) =0,8. Следова-тельно, на рассмотренном множестве формулы эквивалент-ны и степень их равносильности на нем: _М ( , ) = 0,8.

188

						
0	0	1	1	1	1	1
0	0,1	1	1	1	1	1
0	0,2	1	1	1	1	1
0,1	0	0,9	1	1	0,9	0,9
0,1	0,1	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9
0,1	0,2	0,9	0,9	0,9	0,9	0,9
0,2	0	0,8	1	1	0,8	0,8
0,2	0,1	0,8	0,9	0,9	0,8	0,8
0,2	0,2	0,8	0,8	0,8	0,8	0,8

Замечание. В случае в) эквивалентность можно было непосредственно получить по Следствию 1 из Теоремы 1, а степень равносильности _М ( , ) = 0,8 – из Теоремы 2.

Пример показывает, что одна и та же пара формул может одновременно быть нечётко эквивалентной и неэкви-валентной в зависимости от множества М, на котором рас-сматриваются формулы.

Определение. Допустим, нечёткие формулы (хⁿ) и (хⁿ), рассмотрены на некотором множестве М. Области изменения нечётких переменных хⁿ, на которых формулы

( хⁿ ) и ( хⁿ ) нечётко эквивалентны (μ ( , ) > 0 , 5) , называют решениями логического уравнения

(хⁿ)  (хⁿ) на множестве М либо областью экви-валентности формул (хⁿ) и (хⁿ) на множестве М.

Обозначим объединение всех решений через S. При решении логических уравнений на полной области опре-деления Сⁿ необходимо рассматривать структуру формул и анализировать основные случаи, при которых возможна эквивалентность формул. Такой способ решения невозмож-но полностью формализовать .

189

В случае рассмотрения формул на сеточных разбиени-ях все решения уравнения могут быть найдены простым перебором. И в первом и во втором случае в зависимости от сравниваемых формул может оказаться более простым оп-ределение вместо решения S его дополнения M \ S.

Пример 2. Определить область эквивалентности не-чётких формул =  , = ¬( & ) на

а) полной области определения С²,

б) на множестве М={( , )= [(0;0,3);(0;1);(0,7;0);(1;0,4); (0,5;0,5)]} .

Решение.

а) Разобьём полную область определения С² = {0≤ ≤1; 0≤ ≤1} на несколько частей и поочерёдно рассмотрим экви-валентность формул на них.

1. М₁={0≤ ≤0,5;0≤ ≤1}. В этой области  = max (1- , )≥1- > 0,5;¬( & ) = 1- min ( , ) ≥1- >0,5. По Следствию 1 из Теоремы 1 формулы эквивалентны на М₁, т.е М₁ S.

2. М₂={0,5≤ ≤ 1;0≤ ≤0,5}. Так как 1- <0,5 и <0,5; то  =max(1- , )< 0,5; ¬( & ) = 1- min ( , ) ≥ 1- >0,5. По Теореме 4 формулы неэквивалентны на М₂, т.е М₂ S .

3. М₃={0,5≤ ≤ 1;0,5≤ ≤1}.  =max(1- , )= > 0,5; ¬( & ) = 1- min ( , ) <0,5. По Теореме 4 получим: М₃  S.

Таким образом, исследование полной области опреде-ления С² показало, что S= М₁={0≤ ≤0,5;0≤ ≤1}.

б) Пронумеровав все наборы от 1 до 5, вычислим значения формул на них :

₁= ₂=1 ; ₃=0,3; ₄=0,4 ; ₅=0,5;

190

₁= ₂ = ₃=1 ; ₄=0,6 ; ₅=0,5.

На наборах 1,2 формулы одновременно истинны; на наборах 3,4 – ложна, – истинна; на наборе 5 обе формулы индифферентны . Поэтому решением (областью эквивалентности формул на всём М ) будет следующее его подмножество

S = {( , )=[(0;0,3);(0;1)] }.

Определение. Если формула (хⁿ) истинна на всех наборах значений истинности переменных хⁿ из некото-рого множества М, то она будет на нём нечёткой истинной константой. Обозначается: (хⁿ) = .

Определение. Если формула (хⁿ) ложна на всех наборах значений истинности переменных хⁿ из некоторо-го множества М, то она будет на нём нечёткой ложной кон-стантой. Обозначается: (хⁿ) = .

Задачи.

1. Доказать Теорему 2.

2. Доказать Теорему 3.

3. Доказать Теорему 4.

4. Исследовать эквивалентность и определить степень равносильности:

а) функций =  и =  на полной области

определения С² и на множестве М={( , )=[(0,7;0,8);

(0,7;0,9);(0,7;1); (0,8;0,9);(0,8;1)]};

б) функций =  и =  на полной области определения С² и на множестве М = { = [ (0,1); (0,2) ]}  { =[(0,2)]};

в) функций = & и =  на полной области определения С² и на множестве М= { = [ (0,2);(0,3)] }  { =[(0,4)]};

191

г) функций =  и =  на полной области определения С² и на множестве М={ =[ (0,8);(0,9)] }  { =[(0,7);(0,8)]};

д) функций = &  и =  на полной области определения С² и на множестве М={ =[ (0,1);(0,2)] }  { =[(0,2);(0,8)]};

е) функций =  и = & на полной области определения С² и на множестве М={ =[ (0,8);(0,9)] }  { =[(0,9);(1)]} .

5. Привести пример нечеткой истинной константы.

6. Привести пример пары нечетко эквивалентных функций на множестве М={ =[(0,1);(0,2)]}{ =[(0,2);(0,3)]}.