4.4. Алгебра нечётких множеств

Определение. Нечёткие множества на некотором мно-жестве Х вместе с введёнными на них операциями образуют алгебру нечётких множеств (АНМ).

Определение. Формулами алгебры нечетких мно-жеств будем называть все выражения вида  , где , - формулы нечетких множеств,  - логическая операция либо её отрицание.

177

При подстановке конкретных значений в формулу АНМ она получает некоторое значение истинности - число в интервале [0,1]. При значении логической операции 0,5 формула считается истинной, при <0,5 – ложной.

Определение. Формулы АНМ, истинные для любых входящих в них нечётких множеств на Х, называют тео-ремами АНМ. Основные наиболее употребительные теоре-мы называют законами АНМ.

Формулировки большинства из законов АНМ схожи с законами алгебры чётких множеств, но смысл их сущест-венно изменяется. Рассмотрим их.

1. Отрицание третьего

¬( ­ )≈ .

2. Идемпотентность

 ≈ ;  ≈ .

3. Коммутативность

 ≈  ;  ≈  .

4. Ассоциативность

(  )≈(  ) ≈   ;

 (  )≈ (  ) ≈   .

5. Дистрибутивность

 (  ) ≈ (  )  (  );

 (  ) ≈ (  ) (  ).

6. Законы де Моргана

¬(  )≈¬ ¬ ;

¬(  )≈¬ ¬ .

7. Законы дополнительности

 ¬ ≈  ¬ ;

 ¬ ≈ ¬ ;

 ¬  ≈  ¬  ;

¬  ≈ ¬  .

178

8. Свойства разностей

\ ≈ ¬ ; Δ ≈ Δ ;

Δ Δ ≈ Δ( Δ )≈( Δ )Δ ;

Δ ≈( \ ) ( \ ).

9. Свойства операции включения

( )≈(¬ ¬ ); (¬ )≈(¬ ) ;

( ( ¬ ))≈((  ¬ ) ) ;

( ¬ ) (  )≈( ¬ ) (  ).

9. Операции с пустым множеством и носителем

 ø ≈ ;  ø ≈ ø;  X ≈ X ;  X ≈ .

Замечание. Поскольку чёткие множества являются частным случаем нечётких, то все законы АНМ справед-ливы и для алгебры чётких множеств. При этом некоторые из них превращаются в тривиальные равенства, например:

А ¬А = В ¬В = U.

Доказательство справедливости законов АНМ произ-водится следующим образом. Рассматриваются множества, стоящие в левой и правой частях равенств. Обозначим их М₁ и М₂. Затем на основании определений соответствующих операций на множествах доказывается, что для любых не-четких множеств и , входящих в М₁ и М₂ степень ра-венства μ(М₁,М₂) ≥ 0,5.

Иногда функции включения μ_М1(х),μ_М2(х) совпадают. В этом случае, подставляя μ_М2(х)= μ_М1(х), получим:

ν ( , )= ν ( , )=min{max(¬μ_М1(х), μ_М1(х)}≥ 0,5,

xX

поскольку для двух чисел ¬μ_М1(х), μ_М1(х) , дающих в сумме 1, есть только две возможности:

1) одно число превышает 0,5 либо

2) оба числа в точности равны 0,5.

Отсюда следует соотношение:

179

μ( , ) = min{ν( , ), ν ( , )}≥0,5,

т.е. нечеткое равенство М₁ и М₂ по определению.

Пример 1. Доказать справедливость первого закона дополнительности.

Решение. Рассматриваем на некотором общем носителе Х произвольные нечеткие множества и . Обозначим мно-жества в левой и правой части закона через: М₁= ¬ , М₂= ¬ . Для любого элемента хХ справедливо: μ_М1(х)= max (μ_A(х),1- μ_A(х)) ≥0,5 – так как сумма величин в скобках равна 1. Аналогично μ_М2(х) = max (μ_В(х), 1- μ_В(х)) ≥0,5. Отсюда следует, что для степени включения М₁ в М₂ на элементе х справедливо:

max(1-μ_M1(х),μ_M2(х))≥0,5.

В силу произвольности х получим: ν(М₁,М₂) ≥0,5. Ана-логично можно показать, что ν(М₂,М₁) ≥0,5. Степень нечёт-кого равенства М₁ и М₂ μ(М₁ , М₂) = min (ν (М₁,М₂), ν(М₂, М₁)) ≥ 0,5. Отсюда получим: М₁ ≈ М₂ , что и следовало дока-зать.

Пример 2. Доказать справедливость первого закона де Моргана.

Решение. Рассматриваем произвольные нечеткие множест-ва и на общем носителе Х. Обозначим множества в ле-вой и правой части закона через: М₁ = ¬(  ), М₂ = ¬ ¬ . Пусть х – произвольный элемент носителя Х. Рассматривая все возможные варианты вхождения величин μ_A(х) и μ_B(х) в интервалы [0;0,5) и [0,5;1], можно показать, что:

μ_М1(х) = 1 - max(μ_A(х), μ_B(х)) = min(1-μ_A(х), 1-μ_B(х)) = μ_М2(х).

Строго доказать данное равенство проще всего пере-бором возможных случаев:

1) μ_A(х) > μ_B(х)  μ_М1(х) = 1 - μ_A(х) = μ_М2(х).

180

2) μ_A(х)  μ_B(х)  μ_М1(х) = 1 - μ_B(х) = μ_М2(х).

Как показано выше, в этом случае также

μ(М₁ , М₂) = min (ν (М₁,М₂), ν(М₂, М₁)) ≥ 0,5,

что и требовалось доказать.

Задачи.

1. Пусть Х={х₁, х₂, х₃ }. Проверить нечёткое включение мно-жеств:

а) ={<0,1;х₁ >; <0,8; х₂>} в ={<0,3; х₁ >;<0,9 ; х₂ >};

б) ={<0,4; х₁ >;<0,2; х₂ >;<0,3; х₃ >} в ={<0,2; х₁ >; <0,3; х₂ >;<0,4; х₃ >};

в) = {< 0,3; х₁>; < 0,5; х₂ >} в ={< 0,2; х₁ >; < 0,6;х₂ >;

<0,7;х₃>};

г) ={<0,1; х₁ >;<0,1; х₂ >;<0,1; х₃ >} в ={<0,1;х₁ >; <0,2; х₂ >;<0,3; х₃ >};

д) ={<0,3; х₁ >;<0,5; х₂ >;<0,1; х₃ >} в ={<0,1; х₁ >;

<0,2; х₂ >;<0,3; х₃ >};

е) ={<0,1; х₁ >;<0,3; х₂ >;<0,5; х₃ >} в ={<0,2; х₁ >;

<0,4; х₂ >;<0,6; х₃ >};

2. Проверить нечёткое равенство множеств из 1 а)-е).

3. Построить нечёткое множество , включающее элемен-ты х₁, х₂, х₃ и индифферентное к множеству ₌ {<0,1; х₁>; <0,5; х₂ >;<0,9; х₃ >}.

4. Построить нечёткое множество , у которого дополне-ние нечётко включается в само : ¬ .

5. Доказать справедливость следующих законов АНМ:

а) ¬ ≈ ¬ ;

б)( ¬ )≈(¬ );

в)  ø≈ ;

г) Х≈ .

181