4.2. Логические операции на нечётких множествах - включение и равенство

Пусть на множестве-носителе Х заданы произвольные нечёткие множества и .

Определение. Степенью включения множества в множество на элементе х называется величина

max(¬μ_A(x), μ_B(x)) = max( 1-μ_A(x), μ_B(x)).

174

Данная характеристика имеет смысл импликации и показывает, насколько из принадлежности элемента х мно-

жеству следует его принадлежность .

Определение. Степенью включения множества в множество называется величина

ν ( , )=min{max(¬μ_A(x), μ_B(x))}.

xX

При ν( , ) ≥ 0,5 множество нечётко включается в . Обозначается как . При ν( , )< 0,5 множество нечётко не включается в . Обозначается как .

Пример 1. Допустим, Х={х₁, х₂, х₃ }; ={<0,7;х₁>; <0,9; х₃>}; = {<0,9;х₁>; <0,7; х₃ >}. Найти степень включения в .

Решение.

ν ( , ) = min { max (0,3; 0,9); max (0,1; 0,7) } = min {0,9; 0,7}=0,7>0,5.

Следовательно, .

Замечание. Элементы носителя Х, не входящие в мно-жества и , можно не рассматривать при определении включения, поскольку они не влияют на величину ν( , ).

Пример 2. Х={х₁, х₂, х₃}; ={<0,7;х₂>; <0,9;х₃>}; = {<0,9; х₁ >; <0,7; х₃>}. Найти степень включения в .

Решение.

( , ) = min {max(1; 0,9); max(0,3; 0); max(0,1; 0,7)} = min{1; 0,3; 0,7} =0,3<0,5. Следовательно, .

Определение. Степенью нечёткого равенства мно-жеств и называется величина μ( , ) = min{ν( , ), ν ( , )}. При μ( , )≥0,5 множества и нечётко равны. Обозначается как ≈ .

175

При μ( , )< 0,5 множества и нечётко не рав-ны. Обозначается как

Замечание. Если одно из множеств не включается в другое, то неравенство их очевидно . Если и , то имеет место строгое включение нечёткого множества в : .

Пример 3. Рассмотрим множества Х; ; из Приме-ра 1. Найти степень равенства и .

Решение.

Как уже показано, ν( , )=0,7 .Обратное включение: ν( , ) = min {max(0,1;0,7); max(0,3;0,9)} = min{0,7; 0,9} = 0,7. μ ( , ) = min {ν ( , ), ν( , )} = min{0,7; 0,7} =0,7>0,5. Следовательно, ≈ .

Результатом выполнения рассмотренных операций включения и равенства является некоторое число в интер-вале [0,1], которое можно интерпретировать как степень истинности – некоторое логическое значение.

4.3. Предметные операции на нечётких множествах. Формулы нечетких множеств

Введём предметные операции, аналогичные операци-ям с чёткими множествами. Для этого рассмотрим произ-вольные нечёткие множества и на множестве Х, со-стоящие из пар следующего вида: ={<μ_A(x), x>}; = {<μ_B(x), x>}.

Определение. Объединением нечётких множеств и называется нечёткое множество =  , у которого пары определяются следующим образом: ={< max( μ_A (x), μ_B(x)),x>}.

176

Определение. Пересечением нечётких множеств и называется нечёткое множество =  , состоящее из пар вида {< min( μ_A (x), μ_B(x)),x>}.

Определение. Дополнением нечёткого множества называется нечёткое множество =¬ ={< ( 1- μ_A (x)),x>}.

Определение. Разностью нечётких множеств и называется нечёткое множество = \ ={< min( μ_A (x), 1 - μ_B(x)), x>}.

Определение. Симметрической разностью нечётких множеств и называется нечёткое множество = Δ ={<max{min(μ_A(x),1- μ_B(x));min (μ_B(x);1- μ_A (x))},x>}.

Результатом предметных операций являются новые нечёткие множества, что позволяет с их помощью строить сложные множества из более простых.

Определение. Формулами нечетких множеств будем называть:

а) любые обозначения непосредственно заданных (напри-мер, перечислением) нечетких множеств: , и т.д.,

б) все выражения вида ¬ ,  ,  , \ , Δ , где , - формулы нечетких множеств.