3. Многозначные логики
Законы логики, сформулированные Аристотелем в IV в. до н. э., так же, как и аксиомы геометрии Евклида, пред-ставлялись в течение длительного периода времени незыб-лемыми. Было принято полагать, что они не только харак-теризуют свойства человеческого мышления, но и являются частью самой среды, окружающей человека.
Однако глубокое исследование логики, попытки стро-гого логического обоснования математических дисциплин, а также стремление расширить область применения логи-ческих форм анализа привели к пониманию того, что ари-стотелева логика является лишь одной из возможных систем, которая хорошо описывает реальные свойства од-них объектов, частично - других и совершенно непримени-ма - к третьим. Этим было вызвано построение других логик, основанных либо на обобщении законов, сформули-рованных Аристотелем, либо на замене их другими.
Первым
был пересмотрен закон отрицания третьего.
В 1921 г. Лукасевичем была предложена
трёхзначная логика, в которой значение
истинности может принимать не два, а
три значения. Выявленная неоднозначность
определения элементарных функций
трёхзначной логики наглядно пока-зала
абстрактный характер логических систем.
Так, прида-вая третьему значению
истинности ( который в отличие от И и Л
обычно обозначается как ?) смысл,
промежуточный между И и Л, Пост предложил
обобщение функции отрица-ния вида х
= х
1(mod 3). Лукасевич
ввел функцию отри-цания N(x)
= 2-x. Таблицы
истинности
и N(x) имеют
вид:
х |
|
N(x) |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
0 |
162
При определении других элементарных функций, за-висящих уже от двух переменных количество возможных вариантов ещё более возрастает.
Поскольку в многозначных логиках основной характе-ристикой является число k допустимых значений истиннос-ти, то их называют также k - значными логиками.
Двоичная система счисления удобна для практической реализации вычислительных и управляющих устройств с той точки зрения, что требует от элементной базы наличия только двух рабочих состояний.
В то же время существенным недостатком двоичной системы счисления является предельно высокая загружен-ность устройств ввода-вывода при обработке больших мас-сивов информации из-за большой разрядности передава-емых чисел. Это создаёт дополнительные трудности при ре-шении задач цифровой обработки информации нечислового характера - звука, визуальных изображений и т.д.
В настоящее время в связи с развитием технологии жесткая зависимость системы счисления от технической реализации элементов значительно ослаблена. Уже постро-ены и практически используются вычислительные устрой-ства, работающие в троичной и десятичной системах счис-ления. Применение этих систем счисления с основанием, превышающим 2, позволяет существенно сократить слож-ность схем реальных физических устройств. Использование при обменах в машинных словах систем счисления с более высокими основаниями позволяет значительно сократить их длину и значительно ускорить процессы ввода-вывода.
Интенсивные разработки элементной базы много-значной логики и теоретические разработки в области ана-лиза и синтеза схем на основе её функций позволяют на-деяться на то, что значительная часть устройств, работаю-щих в двоичной системе счисления, может быть переведена на многозначные системы.
163