25. Види дисперсій. Правило декомпозиції (розкладання) дисперсій.

Варіація ознаки формується під дією різних чинників, серед яких можна виділити випадкові та систематичні. Отже, варіація може бути випадковою, зумовлена дією випадкових причин, та систематичною — внаслідок дії постійних чинників. Визначити кожну з них та їхню роль у загальній варіації можна за допомогою дисперсійного аналізу.

Загальна дисперсія, яку вже було розглянуто, характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію,

Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розчленувати всю сукупність на групи та знайти, як зміниться результат під дією чинника, покладеного в основу групу­вання. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи "середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсії.

Трупова (часткова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи. її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами

або спрощеним способом:

Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

Середня з групових (часткових) дисперсій — це середня ариф­метична, зважена з групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх X ₁ від загальної середньої X:

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Отже, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгрупову варіацію.

Взаємозв'язок дисперсій називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації:

26. Характеристики форми розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу.

За своєю формою роз-поділи поділяються на одновершинні та багатовершинні (коли розподіл має дві, три та більше вершин). Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп з різними рівнями ознаки. У такому разі необхідно більш ретельно проаналізувати наявну вихідну інформацію, перегрупувати дані, виділивши однорідні групи. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні (скошені), гостровершинні та плосковершинні.

У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, при цьому середня, мода та медіана мають однакові значення  в асиметричному – вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія. Якщо вершина зміщена вправо, то це лівостороння асиметрія.

Асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка веде до зміщення центру розподілу. Очевидно, що в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії A>0, при лівосторонній – A<0.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення від середньої арифметичної медіани чи моди. В симетричному розподілі характеристики центра мають однакові значення = Мо = Ме в асиметричному – між ними існують певні розбіжності. Стандартизовані відхилення, які мають назву коефіцієнта асиметрії, характеризують напрям та міру скошеності розподілу і розраховуються за формулами:

або . Якщо має місце відхилення коефіцієнта асиметрії від нуля в той чи інший бік, то можна вести мову про більшу чи меншу асиметрію. Вважають, що при 0,25 асиметрія низька при 0,25< 0,5 - помірна, або середня при >0,5 - асиметрія висока.

Характеристики центру розподілу ґрунтуються на моментах розподілу. Момент розподілу – це середня k-го ступеня відхилень . В загальному вигляді центральний момент k-го порядку розраховується за формулою:

,

де хі – значення окремої варіанти; – середня арифметична; k – ступінь моменту; fi – частота окремої варіанти.

Для того, щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів, використовують стандартизований момент третього ступеня. В такому разі коефіцієнт асиметрії визначається за формулою:

, де М3 – центральний момент третього порядку; – середнє квадратичне відхилення.

Гостровершинність розподілу відображає скупченість значень ознаки навколо середньої величини та називається ексцесом. Для вимірювання ексцесу використовують коефіцієнт, побудований за допомогою стандартизованого моменту четвертого порядку, який розраховується за формулою:

, де М4 – центральний момент четвертого порядку.

Якщо Е = 3, то розподіл уважається нормальним, при E < 3 – плосковершинний, при E > 3 - розподіл має гостровершинну форму.

На практиці часто в одному розподілі поєднуються всі названі особливості, а саме: одновершинний розподіл може бути симетричним та гостровершинним, або плосковершинним з лівосторонньою асиметрією, або гостровершинним з правосторонньою асиметрією тощо.