21. Характеристики центру розподілу: середня, мода, медіана, їх взаємозв’язок.

Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня вели­чина . За даними ряду розподілу середня обчислюється як ариф­метична зважена: де і — номер групи; т — число груп.

В інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл еле ментів сукупності в межах і-го інтервалу, як варіанту х_і використовують середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою самою, як сусіднього закритоп інтервалу.

Окрім типового рівня важливе значення має домінанта, тобто найбільш поширене значення ознаки. Таке значення називають модою (Мо). У дискретному ряду моду визначають безпосеред­ньо за найбільшою частотою (часткою).

В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, а в разі потреби конкретне модальне зна­чення в середині інтервалу обчислюється за інтерполяційною формулою

,

де Мо – мода х _Мо – нижня межа модального інтервалу h _Mo – ширина модального інтервалу f _Mo – частота модального інтервалу f _{Mo – 1} – частота попереднього (перед модального) інтервалу f _{Mo + 1} – частота наступного (після модального) інтервалу.

Для моди як домінанти число відхилень (х-Мо) мінімальне. Оскільки мода не залежить від крайніх значень ознаки, то її до­цільно використовувати тоді, коли ряд розподілу має невизначені межі.

Характеристикою центра розподілу вважається також медіана (Me) — значення ознаки, яке припадає на середину впорядковано­го ряду, поділяє його навпіл — на дві рівні за обсягом частини.

Визначаючи медіану, використовують кумулятивні частоти S_fi або частки S_di. У дискретному ряду медіанним буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину сукупності, тобто S_fi ≥ 0,5 f_i (для кумулятивної частки S_di ≥ 0,5).

Кумулятивні частоти визначаються доданням наступного значення частоти до суми значень попередніх частот. При цьому не має значення які інтервали у варіаційному ряді розподілу: рівномірні чи нерівномірні.

В інтервальному ряду за цим принципом визначають медіанний інтервал.

Значення медіани, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:

,

де Ме – медіана х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу h_Me – ширина медіанного інтервалу

0,5 f _i – половина сукупності S _{fMe - 1} – сума накопичених частот до медіанного інтервалу f _Ме – частота медіанного інтервалу.

23.Вимірювання варіації ознак - абсолютні міри варіації: розмах варіації, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення.

Варіація, тобто коливання, мінливість будь-якої ознаки є властивістю статистичної сукупності. Здатність ознаки змінювати індивідуальні значення називається варіабельністю. Вона зумовлена дією безлічі взаємопов’язаних причин, серед яких є основні та другорядні. Основні причини формують центр розподілу. Другорядні причини впливають на форму розподілу.

Для виміру та оцінки варіації використовують систему абсолютних та відносних характеристик. До абсолютних характеристик належать: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсія.

Методика обчислення характеристик варіації залежить від виду ознаки Х та наявних даних (первинні чи похідні, згруповані чи ні).

Розмах варіації – різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки, розраховується за формулою:

R = X _max – X _min,

де X _max – максимальне значення ознаки X _min – мінімальне значення ознаки.

Розмах варіації характеризує межі, в яких змінюється кількісне значення ознаки. Цей показник встановлює крайні числові значення варіант, що складають досліджувану сукупність.

В інтервальному ряду розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу та нижньою межею першого. Проте, якщо інтервал відкритий, для обчислення розмаху варіації використовується середина інтервалу.

Крім розмаху варіації, у практиці статистичного аналізу широко застосовують інші абсолютні характеристики варіації, що ґрунтуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної: середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсію.

Якщо статистична сукупність надана у вигляді інтервального варіаційного ряду, то для розрахунку показників варіації використовуються розрахункові формули за зваженою формою. При цьому замість індивідуального значення ознаки обирається середина відповідного інтервалу.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню відстань між середньою арифметичною величиною та відповідними індивідуальними значеннями окремих ознак, а це завжди додатна величина. Саме тому у формулах відхилення кожної варіанти від середньої арифметичної береться за модулем.

Дисперсія являє собою середній квадрат відхилень і пов’язана з середнім квадратичним відхиленням таким співвідношенням:

,

де  – середнє квадратичне відхилення

D =  ² – дисперсія.