4.Осн. Правила и формулы комбинаторики

Выбор с возвр-нием: кажд выбр-ный шарик возвр-ся в урну, т.е. кажд из шариков выбир-ся из полной урны. В получ-м наборе, сост-м из номеров шариков, могут встреч-ся одни и те же номера (выборка с повторениями).

• Выбор без возвр-ния: выбр-ные шарики в урну не возвр-ся, и в получ наборе не могут встреч-ся одни и те же номера (выборка без повторений).

• Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров.

• Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Размещ-ми из элем-в по ( ) наз их соед-ния, каждое из кот содержит ровно различ-х элем-в , и кот отлич-ся либо сами элем-ми, либо порядком элем-в.

Теорема. Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-ов из без возвращения и с учетом порядка наз-ся числом размещений из элементов по и определяется формулой .

Соединения из элем-в, каждое из кот содержит все элем-в, и кот отлич-ся лишь порядком элем-в, наз-ся перестановками .

Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-в из без возвращения и с учетом порядка наз числом перестановок и опр-ся по формуле

Соч-ми из элем-в по ( ) наз такие их соед-я, каждое из кот содержит ровно д-ых элем-в, и кот отлич-ся хотя бы одним элем-м.

Теорема. Общее кол-во выборок в схеме выбора элем-в из без возвр-ия и без учета порядка наз числом сочетаний из элем-в по и опр-ся формулой:

.

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и с учетом порядка определяется формулой .

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой

5. КЛАССИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов _:

0≤m≤n

0 ≤m/n≤1

0≤P(A)≤1

Т.о. вер-ть любого соб-я есть неотриц. число превышающее 1.

если Р(А)=0, то соб-е А невозможное.

если Р(А)=1, то соб-е А достоверное.

Равновозм-ое элем-ое соб-е явл равновероятностным, т.е. обладает одной и той же вер-ю.

Т1. А=В, Р(А)=Р(В)

Т2. если АϵВ, Р(А)≤Р(В)

Т3. Ā есть противоп соб-е к соб-ю А, то Р(А)+Р(Ā)=1

6. ГеометрическиОе определение вероятности

Приведем формальное определение вероятностей для испытаний с бесконечным числом исходов. В подобных случаях пространство элементарных исходов может быть областью , а под событием можно понимать исходы, входящие в область .

Пусть на область наугад бросается «точка». Какова вероятность того, что эта точка попадет в область , являющуюся частью области ?

1случай. Пусть отрезок , длину которого обозначим как , составляет часть отрезка длина которого . На отрезок наудачу поставлена точка. опр-ть вер-ть того, что эта точка попадет на отрезок gϵG.

.

2случай. Пусть плоская фигура с площадью составляет часть плоской фигуры , площадь которой . На фигуру наудачу брошена точка. найти вер-ть того, что эта точка попадет на фигуру g .

Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через , а меру области – через ; обозначим через событие «попадание брошенной точки в область , которая содержится в области _». Вероятность события , т.е. вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой:

.