Вопрос 7

Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).

Вопрос 8

1. Предел константы равен самой этой константе:

^{с = с}.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k • f (х)] = k • f (х).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Вопрос 9

Вопрос 10

sinx~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x

1-cosx~x²/2

2sin²(x/2)~x²/2

Вопрос 11

Функция f(x) непрерывна в точке А, если

1. f(x)=f(y)

2. функция определена в точке А и в какой-то её окрестности.

3. Функция имеет предел в точке А

Вопрос 12

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва.

1. Функция определена в окрестности точки А, но не определена в самой точке

Например y=1/x

2. Функция определена в точке и в окрестности, но предела не существует

x, x>0

Например f(x)=

x+1, x≤0

3. Функция определена в точке, в окрестности и предел существует, но не совпадает с функцией

sinx/x, x≠0

Например f(x)=

2, x=0

Вопрос 13

1. Все элементарные функции непрерывны в точках, в которых они определены

2. Сумма, частное и произведение двух непрерывных функций, есть непрерывная функция

3. Функция от непрерывной функции непрерывна

4. Если функция f(x) непрерывна и строгомонотонны, то и обратная функция непрерывна и монотонна (обратные тригонометрические функции непрерывны, степенная функция непрерывна)

Вопрос 14

Все элементарные функции непрерывны в точках, в которых они определены

Вопрос 15

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения

2. Для любого ограниченного множества действительных чисел, существует точная верхняя и точная нижняя границы (если функция непрерывна на отрезке, то она на нём ограничена)

3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке АВ, то функция принимает все промежуточные значения между АВ

Вопрос 16

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

Вопрос 17

Если функция имеет производную в точке x₀, то функция непрерывна в данной точке

Для любого

Где - бесконечно малое, а значит она непрерывна

Вопрос 18

Производная суммы произведения и разности

Вопрос 19

Y(x) – строгомонатонна и имеет производную (не равную 0), то обратная функция (x(y)) имеет производную x’(y)=1/y’(x)

Вопрос 20

y=arcsinx y’=1/cosx=1/

y=arctgx y’=1/1+x²

y=arccosx y’=-1/cosx=-1/

y=arcctg y’=-1/1+x²

Вопрос 21

Неявной функцией y аргумента x называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x, y и не разрешенного относительно y, т.е. .

Производная неявной функции находится по следующей формуле:

Параметрически заданная функция

Вопрос 22

1. Если функция непрерывна на интервале АВ и имеет производную, то есть точка С, где

f(x)=0 C [AB] f(a)=F(b)

2. f и непрерывны на интервале [AB], имеют f’(x) для x (AB), существует с (AB)

3. Пусть функции и f, имеют производные в окрестности точки x₀ и обращаются в этой точке в 0

f(x₀)= (x₀)=0

‘(x₀)=0, тогда если

существует, то и

существует.

Вопрос 23

Пусть функции и f, имеют производные в окрестности точки x₀ и обращаются в этой точке в 0

f(x₀)= (x₀)=0

‘(x₀)=0, тогда если

существует, то и

существует.

Вопрос 24

В тетради

Вопрос 25

В тетради

Вопрос 26

Первообразной для функции f(x) называется функция F(x), такая. Что производная F’(x)=f(x)

В тетради (по физике)

Вопрос 27

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой: