Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
namefix.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
16.04.2019
Размер:
286.21 Кб
Скачать

Вопрос 8

Движение твердого тела, при котором все точки прямой АВ, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси АВ.

Такое твердое тело имеет одну степень свободы и его положение в пространстве полностью определяется значением угла поворота вокруг оси вращения из некоторого, условно выбранного, начального положения этого тела. Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt полагают вектор элементарного поворота тела. По модулю он равен углу поворота тела за время dt, а его направление совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, направление вращения рукоятки которого совпадает с направлением вращения тела (рис. 1). Вектор угловой скорости

Izz – момент инерции относительно неподвижной оси.

Вопрос 9

Колебания – процесс изменения физ величины или состояния системы, повторяющийся во времени. Если эти изменения происходят через равные промежутки временя, то они наз периодическими.

Гармонические колебания – колебания, кот происходят по закону синуса или косинуса.

Классификация колебаний:

-механические (маятники, пружины с грузом) (изменяется координаты, скорость и т. д.)

-упругие(звуковые) (изменяется давление.)

Примеры колебаний различной физической природы:

-механические – математический маятник, пружины с грузом)

-упругие – звук

- электрические – переменный ток

-электромагнитные - Простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания, состоит из конденсатора и катушки, присоединённой к его обкладкам. Такая система называется колебательным контуром.

Гармонические колебания

Простейшими из колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Механические колебания, которые происходят под действием силы (восстанавливающая сила), пропорциональной смещению и направленной противоположно ему, называют гармоническими колебаниями-диференциальное уравнение,-решение

x- смещение колеблющейся величины от положительного равновесия

Основные харак-ки ГК

А – амплитуда- максимальное смещение от положения равновесия

0) – фаза колебаний – определяет смещение в данный момент времени

0 – начальная фаза – определяется положением системы в начальный момент времени

ω – собственная частота колебаний, определяется параметрами системы

Роль начальных условий – А, начальная фаза

Способы графического представления колебательных процессов:

-плоская диаграмма

-векторная диаграмма

Векторная диаграмма – способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х. Из т. О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий с осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по соси х в пределах от –а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону х=а cos (ω0t + α).

Следовательно, проекция вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора , с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Т.о. гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина кот равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебаний.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент М, равный M=-mgl sin .Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как (1) где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (1) запишем в виде (2) где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем (3) Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента: (4) (если (ω02 - σ2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение , у которого решение будет функция . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω02 >> σ2 ) (5) где (6) — амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.

Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм (7)

— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы. Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна (8) (так как затухание мало (ω02 >> σ2 ), то T принято равным Т0). Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, которые система совершает за время релаксации. Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур). Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды при частоте вынужденных колебаний близкой к собственной.

-резонансная частота

Добротность пружинного маятника, используя (8) и (10), .

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями

и

(2.2.1)

Рис. 2.2

Отложим из точки О вектор под углом φ1 к опорной линии и вектор под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени ( ). Такие колебания называют когерентными.

Нам известно, что суммарная проекция вектора равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды , вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и , и . Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω:

.

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:

Результирующую амплитуду найдем по формуле

.

(2.2.2)

Начальная фаза определяется из соотношения

.

(2.2.3)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Из (2.2.2) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз . Возможные значения Алежат в диапазоне (амплитуда не может быть отрицательной).

Пусть частоты двух скалярных колебаний не равны друг другу иw1 > w2. Сначала рассмотрим случай, когда разность частот складываемых колебаний мала, т.е. w1 - w2 = W << w1, w2.

x1 = A1·cos (w1·t + f1); x2 = A2·cos (w2·t + f2).

Найдем результирующее колебание x = x1 + x2. Заменив величину w1 на w2+ W, запишем уравнение 1-го колебания в виде:

x1 = A1·cos (w2·t + (W·t+ f1)) = = A1·cos (w2·t + y(t)).

Величину y(t) будем рассматривать как медленно изменяющуюся во времени фазу y(t) = W·t+ f1. Таким образом, вектор r1 участвует в двух вращениях с частотами w2 и W. Изобразим r1 и r2 на векторной диаграмме, исходящими из одной точки O. Не будем рассматривать их синхронного вращения с частотой w2, т.к. оно не изменяет со временем их взаимного расположения этих векторов (см. рис. 9.7). Поэтому вектор r2 будем считать неподвижным, а r1 - вращающимся со скоростью W относительно точки O. При вращении r2 вектор r1 составляет с ним некоторый угол, изменяющийся со временем. В результате сложения r1 и r2 получим вектор, длина которого периодически меняется со временем от значения, равного сумме A1 + A2, до значения, равного разности A1 - A2. Действительно, из (9.4) следует, что:

A2 = A12 + A22 + 2A1·A2·cos(W·t + Df), (9.6) где Dj = f1 - f2.

Из (9.6) видно, что амплитуда результирующего колебания А изменяется по гармоническому закону с частотой W. Период изменения амплитуды равенТб = 2p/W.

фигура Лиссажу представляет из себя прямую линию с углом наклонаa к оси X (tg a = А2/А1). Если Df = p, то y = - А2·x/А1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]