![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеют вид:
- •5, 6,7,8. Прямая на плоскости
- •9. Расстояние от данной точки до данной прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •17.Векторное произведение векторов
- •18. Смешанное произведение трех векторов
- •Свойства предела последовательности. Общие свойства.
- •20. Предел функции
- •Свойства пределов функции
- •21. Непрерывность функции в точке.
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Производные высших порядков
- •25. Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме
- •26. 1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •28. Неопределенный интеграл
- •30. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
- •33. Формула Ньютона — Лейбница.
- •38. Функции нескольких переменных
- •39. I числовые ряды
- •40. Функциональные ряды
- •42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
- •43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •45. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
40. Функциональные ряды
Формально записанное выражение
(25)
где
-
последовательность функций от независимой
переменной x,
называется функциональным рядом.
Примерами функциональных рядов могут служить:
(26)
(27)
Придавая независимой
переменной x некоторое
значение
и
подставляя его в функциональный ряд
(25), получим числовой ряд
Если он сходится, то говорят,
что функциональный ряд (25) сходится
при
;
если он расходится, что говорят, что ряд
(25) расходится при
.
41. Степенные ряды Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим
функцию
.
Ее областью определения является
множество тех значений x,
при которых ряд сходится. Область
определения такой функции
называется интервалом
сходимости.
Если
интервал сходимости представляется в
виде
,
где R
> 0,
то величина R называетсярадиусом
сходимости.
Сходимость ряда в конечных точках
интервала проверяется отдельно.
Радиус
сходимости можно вычислить, воспользовавшись
радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия
Определение. Уравнение вида F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*) связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая зависит от аргумента х и nнезависимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество. Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сnопределенные числовые значения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное
уравнение
,
допускающее запись в виде
,
а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме
называются уравнениями с разделяющимися переменными.
Предполагается,
что функция
определена
и непрерывна на отрезке
,
а функция
определена
и непрерывна на отрезке
.
Для решения такого уравнения надо обе
его части умножить или разделить на
такое выражение, чтобы в одну часть
уравнения входило только
в
другую – только
, а
затем проинтегрировать обе части.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1. Решение. Данное уравне
ние является линейным.
Здесь ρ(x)=3
и f(x)=e2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ,
где U и
υ – некоторые функции от х.
Находим y'=
U'υ+ Uυ' и
подставляем в уравнение
значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2x или U'υ+U(υ'+3υ)= e2x.
Найдем одно значение υ, при котором
выражение в скобках, обращается в нуль:
υ'+3υ=0.
Получим уравнение с разделяющимися
переменными. Решая его получаем:
ln υ =–3x,υ=e–3x.
Подставляем найденное значение υ в
исходное дифференциальное уравнение,
получаем уравнение с разделяющимися
переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения
имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого
подставим начальные условия в
выражение для общего решения и
найдем С.
.
Частное решение имеет вид:
.
44