22. Интервальные оценки параметров распределения.

При выборках малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра, поэтому вводят интервальные оценки. ОПР: Интервальной оценкой наз-ся два числа (концы интервала). Они позволяют установить точность и надёжность оценки. Пусть - неизвестный параметр, * - его оценка, которую удалось получить по данным выборки, тогда оценка будет тем более точной, чем меньше абсолютная величина разности | - *|, те чем меньше >0, где >| - *| ( - точность оценки). ОПР: Надёжностью, доверительной вероятностью оценки наз-ся число (гамма) равное вероятности выполнения нер-ва >| - *|. P( >| - *|)= (*)

В качестве берут число близкое к 1. Из (*) следует P( *- < < *+ ) = , это означает, что с надёжностью покрывается интервалом ( *- , *+ ).

ОПР: Доверительным интервалом наз-ся интервал ( *- , *+ ), который с заданной надёжностью покрывает неизвестный параметр распределения. Впервые ввёл в рассмотрение Нейман используя идеи Фишера.

23 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном :

Пусть признак генеральной совокупности распределен нормально причем  известно. Требуется оценить неизвестный параметр а по данным выборки. Построим доверительный интервал с заданной надежностью . Будем рассматривать как , а ее возможные значения х₁, х₂, …,х_к, как независимые одинаково распределенные случайные величины х₁, х₂,…,х_к. Следовательно ; , где n – объем выборки. Потребуем выполнение следующего равенства: , где - заранее заданная надежность. (**); Следовательно, - точность оценки. Подставим в (**): .

. Следовательно, , - функция Лапласа. Значение t получаем по таблице. А доверительный интервал имеет вид: .

24. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном :

Пусть количественный признак х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное среднее квадратическое отклонение  при известной надежности  по известному «исправленному» среднему квадратическому отклонению S. Оказывается, что по выборочным данным можно получить случайную величину Т, имеющую распределение Стьюдента вида: с k=(n-1) степенями свободы, где - выборочное среднее, S – исправленное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки.

Данное распределение очень удобно для оценки, т.к. зависит от одного параметра n (или k). Потребуем выполнения равенства: .

Распишем: . Следовательно, получим доверительный интервал , который с заданной надежностью  покрывает неизвестную величину а. Значения находятся по таблице.