20. Статистические оценки параметров распределения.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось определить вид распределения, тогда возникает задача оценить (те вычислить) параметры данного распределения. Обычно в распоряжении исследователя имеются только данные выборки, например значения x1, x2 ….количественного признака, полученные в результате n независимых испытаний. Рассматривая эти значения, как независимые одинаково распределённые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного теоретического параметра следовательно найти функцию от этих случайных величин, которое и даёт приближенное значение неизвестного параметра.

ОПР: Статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения – функция от случайных величин. Чтобы оценка давала хорошее приближение, необходимо, что бы она удовлетворяла некоторым требованиям: 1) несмещённость (ОПР: несмещённой наз-ся оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки)(ОПР: смещённой наз-ся статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру) 2) эффективность (ОПР: эффективной наз-ся статистическая оценка, которая при постоянном объёме выборки имеет наименьшую дисперсию) 3) состоятельность (ОПР: состоятельной наз-ся статистическая оценка, которая при n по вероятности стремится к оцениваемому параметру[эта выборка используется для выборок большого объёма])

21. Точечные оценки параметров распределения.

Под точечными оценками понимают: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное квадратичное отклонение.

А) Выборочное среднее.

Пусть для изучения количественного признака генеральной совокупности извлечена выборка объёма n. ОПР: Выборочной средней наз-ся среднее арифметическое признака выборочной совокупности _В. Если каждое возможное значение X₁…X_k принимают с соответствующими частотами n₁….n_k тогда , где n=n₁+n₂+….+n_k. Средневыборочная – несмещённая оценка генеральной средней (мат. ожидания).

Б) Выборочная дисперсия.

Xi	X1	X2	………	Xk
ni	n1	n2	………	nk

Для характеристики рассеяния возможных значений количественного признака вокруг выборочной средней вводят сводную характеристику, те выборочную дисперсию. ОПР: Выборочной дисперсией наз-ют среднее арифметическое квадратов отклонений возможных значений количественного признака от средневыборочной D_B. Если возможные значения количественного признака X₁….X_k встречается с соответствующими частотами n₁……n_k.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии, для того, чтобы «исправить» оценку нужно всего лишь домножить на дробь n/(n-1). «Исправленная» выборочная дисперсия обозначается S²_­. S²=D_B*n/(n-1); .Исправленная выборочная дисперсия – несмещённая оценка генеральной дисперсии. Используется для малых выборок (n<30), если n>30, то S² D_B.

В) Выборочное среднеквадратичное отклонение.

Для характеристики рассеяния возможных значений количественного признака вокруг средне-выборочного, кроме выборочной дисперсии используют и другую характеристику - выборочное среднеквадратичное отклонение .

ОПР: Выборочным среднеквадратичным отклонением наз-ся . Исправленным выборочным среднеквадратичным отклонением S наз-ся квадратный корень из S², те S= . Замечание: S не является несмещённой оценкой генерального среднеквадратичного отклонения.