Периодические сигналы

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание, определяемое законом:

при . Здесь - постоянные амплитуда, период, частота и фаза. Гармоническое колебание часто представляется также в виде

Чрезвычайно важным является то обстоятельство, что любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы или ряда элементарных гармонических сигналов. Это преобразование осуществляется с помощью ряда Фурье.

Пусть заданная в интервале функция периодически повторяется с частотой , где - период, т.е.

для всех .

Если функция непрерывна (или имеет конечное число разрывов первого рода) в пределах одного периода, то она может быть представлена рядом Фурье в тригонометрической (3 а), или комплексной (3 б) формах

Здесь - постоянная составляющая, и - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения . Амплитуды могут быть рассчитаны по формулам

Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) - гармоники выражаются через и следующим образом:

.

В свою очередь, входящая в выражение (3б) комплексная амплитуда , связана с и следующими соотношениями

Комплексные амплитуды и являются взаимно сопряженными комплексными величинами. Легко показать, что справедливо соотношение

Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала и полностью определяет его энергию.

В тех случаях, когда сигнал представляет собой функцию, четную относительно , т.е. , в тригонометрической записи остаются косинусоидальные члены (это очевидно из соотношения (4 в) ). Для нечетной относительно времени функции , наоборот, в нуль обращаются коэффициенты и ряд содержит только синусоидальные члены.

Структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками – амплитудной и фазовой, т.е. модулем и аргументом комплексной амплитуды (формулы (5а) и (5б)). Наглядное представление о “ширине” спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображение спектра (Рис. 2).

Рис. 2. Спектр периодической функции

На рисунке по оси ординат отложены модули амплитуд, по оси абсцисс – частоты гармоник. Как видно, спектр периодической функции состоит из отдельных “линий”, соответствующих дискретным частотам , в связи с чем и используется термин – линейчатый или дискретный спектр.

Важно понимать, что задание амплитудного спектра еще недостаточно для исчерпывающей характеристики сигнала – необходимо также знать фазы отдельных гармоник.

Если на вход линейной системы, характеристики которой известны, поступает сигнал , то для нахождения выходного сигнала необходимо учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейности системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

В теории информации вводится понятие коэффициента передачи системы. Он представляет собой отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе и может быть записан в виде:

Для учета амплитудных и фазовых изменений комплексная амплитуда каждой из гармоник входного сигнала должна быть умножена на .

Если сигнал на входе линейной системы передачи имеет вид:

то сигнал на выходе может быть найден с помощью выражения

где и представляют собой соответственно комплексные амплитуды -й гармоники сигнала на входе и выходе системы передачи. Таким образом, для решения задачи о прохождении сигнала через систему достаточно умножить на комплексный коэффициент передачи .

Для практических приложений является очень важным вопрос о расчете энергетических характеристик сигналов, т.е. необходимо знать, какая часть энергии сигнала соответствует каждой из его гармонических составляющих. Сведения о распределении мощности в спектре сигнала позволяют выбирать полосу пропускания системы передачи информации. В связи с этим рассмотрим вопрос о расчете средней мощности периодического во времени сигнала.

Пусть сигнал представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом . Средней за период мощностью называется величина

где черта над функцией означает операцию усреднения по времени. Разложение сигнала в ряд Фурье

и подстановка этого выражения в формулу (11) позволяет получить выражение для средней мощности сигнала

,

где - постоянная составляющая, - амплитуда -й гармоники сигнала.

Таким образом, суммарную среднюю мощность сигнала можно представить в виде суммы мощностей отдельных гармонических составляющих.