53. Свободные затухающие механические колебания. Свободные затухающие колебания в электрическом контуре.

Механические колебания - движение тел, повторяющихся точно или приблизительно через одинаковые промежутки времени. Свободные механические колебания всегда оказываются затухающими. При любом мех. движении тел в рез-те их взаимодействия с окружающими телами, часть мех. энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и мол-л. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается и через некоторое время маятник останавливается.

Свободные затухающие колебания в электрическом контуре.

Электрический колебательный контур - сис-ма, состоящая из конденсатора и катушки, соединенных между собой в замкнутую электрическую цепь. При подключении обкладок заряженного конденсатора к концам катушки в ней возникает эл. ток и энергия эл. поля заряженного конденсатора превращается в энергию магн. поля. Конденсатор постепенно разряжается, напряжение на его обкладках уменьшается и уменьшается энергия эл. поля между обкладками. Сила тока постепенно увеличивается и увеличивается энергия магн. поля катушки. Когда конденсатор полностью разрядится и энергия эл. поля станет =0, сила тока в катушке и энергия магн. поля достигнут макс. значений. Потом сила тока начинает убывать. Энергия магн. поля в катушке превращается в энергию эл. поля заряженного конденсатора. Этот процесс периодически повторяется.

Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения между обкладками конденсатора без потребления энергии от внешн. источников – своб. эл. – магн. колебания.

Ранее при рассмотрении колебаний заряда в колебательном контуре мы получили выражение:

Примем затухание δ=R/2L, а ω₀=

А колебания заряда будут описываться уравнением:

Q=Q_me^-δtcos(ωt+φ)

Эти колебания происходят с частотой ω

ω= =

тогда добротность контура

54. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

Вынужденные колебания — незатухающие колебания реальной колебательной системы, в которой потери энергии компенсируются с помощью каких-либо периодических действующих факторов х(t), причем их действие происходит по гармоническому з-ну:

х=Acos(ω₀t+φ)

В случае механических колебаний роль х(t) выполняет внешняя сила F:

F=F₀-cosωt

Теперь закон движения пружинного маятника принимает вид:

mx′′=-kx-rx′+ F₀cos ωt

Однако, δ=r/2m ω₀

x′′+2δx′+ ω₀²x=(F₀/m)cosωt

В случае эл. колебаний контура роль х(t) выполняет переменноt напряжение:

U=U_mcosωt

δ=R/2L, а ω₀=

Сводятся к линейному однородному дифферен­ци­альному уравнению типа:

В случае мех. колебаний х₀=F₀/m, а в случае эл. колебаний х₀=U_m/L.

Решение этого уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

S=A₀e^-δtcos(ω₁t+φ₁) — общее решение

S= — частное решение

Первое слагаемое играет существенную роль в начальной стадии процесса, то есть при установлении колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет определенного значения.

На стадии установившихся колебаний А вынуж­денных колебаний достигает значений, определяемых выражением:

А=

На стадии установившихся колебаний они являются гармоническими, происходит с частотой ω, а фаза этих колебаний описывается уравнением:

Амплитуда и фаза колебаний зависят от частоты ω.

Из выражения для амплитуды можно сделать вывод, что А имеет максимум. Частота, при которой А достигает максимума значения, называется резо­нансной и обозначается ω_рез.

Резонанс – явление возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний до макс. Значения при приближении частоты изменения внешней силы к частоте свободных колебаний сис-мы.

Если продифференцировать подкоренное выраже­ние по ω и для нахождения максимума приравнять его к 0, получим выражение, определяющее ω_рез.

Отсюда

ω_рез=

Если δ²<<ω₀², то ω_рез совпдает с собственной частотой ω₀.

Если подставить это выражение в выражение для амплитуды, то получим А в момент резонанса:

А_рез=

По мере увеличения δ максимум зависимости А от ω смещается в область меньших частот. Высота максимума падает, а сам максимум уширяется.

№55. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны, волновое число ,фазовая и групповая скорости. Интерференция волн. Когерентность. Стоячие волны. Эффект Доплера в акустике.

1)Волновой процесс – процесс распространения колебаний в сплошной среде. Среда рассматривается как сплошная,непрерывно распределенная в пространстве, обладающая упругими свойствами.

Непрерывное геометрическое место точек волны, колеблющихся в одинаковых фазах, называют волновой поверхностью. Переднюю волновую поверхность, т.е. наиболее удаленную от источника, создающего волны, называют фронтом волны. Фронт волны представляет собой поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Линию, вдоль которой происходит распространение фронта волны, называют лучом.Сама же волна - процесс распространения колебаний от их источника в окружающем пространстве. Основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества. Волна может распространяться в направлении колебаний и поперек.

Типы волн: волны на поверхности жидкостей, упругие – механические возмущения, распростр. в упругой среде, электромагнитные