49.Колебания. Гармонические колебания. Амплитуда, циклическая частота, частота, фаза, период колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Колебания – это движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в природе (например, качания маятника часов, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника). Колебания могут быть разной природы. В физике рассматриваются механические, электромагнитные и электромех. колебания. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия), вынужденные (в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы), автоколебания (в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы, но эти воздействия осуществляются самой колеблющееся системой)

Гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Они происходят под действием силы F, пропорционально смещению х тела из положения равновесия и направленной в сторону положения равновесия: F=-kx,

Закон движения гармонических колебаний: x= A sin(ωt + φ₀).

A — максимальное значение колеблющейся величины, которая называется амплитудой колебания,

ω — круговая или циклическая частота,

φ₀ — начальная фаза колебания в момент времени t=0.

ω₀t+φ — фаза колебания в момент времени t.

Обратная частоте колебаний величина – период колебаний Т (время,за кот.происходит одно полное колебание),

Связь ω, ν и Т: ω= 2π ν=

Величина φ = ω₀t+ φ₀ называется фазой колебаний и характеризует состояние колебательного процесса в любой момент времени, φ₀ – начальная фаза колебаний.

При гармонических колебаниях определенное состояние колеблющейся системы повторяется через промежуток времени Т, который называется перио­дом колебаний и за который фаза колебаний получает приращение 2π.

ω0(t+Т)+φ=(ω₀t+φ)+2π

Т=2π/ω₀

Величина, обратная периоду колебаний ν=1/Т называется частотой и представляет собою число полных колебаний в единицу времени.

ν = , Гц (герц)=с^-1,

Если сопоставить эти уравнения, то можно получить:

ω₀=2πν

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Возьмем первую и вторую производную по времени от величины S:

= - Аω₀sin(ω₀t+φ)=Aω₀cos(ω₀t+φ+π/2)

Это можно переписать:

(sinα=-cosα+π/2)

= - Aω₀²cos(ω₀t+φ)=Aω₀²cos(ω₀t+φ+π)

При этом используется соотношение сosα=- cosα+π.

Гармонические колебания имеют ту же циклическую частоту, но амплитуды соответственно равны Аω₀ и Aω₀², а фазы отличаются на π/2 и π соответственно.

Из выражения второй производной следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

S=Acos(ω₀t+φ)

50. Механические гармонические колебания. Энергия гармонических колебаний. Электрический колебательный контур. Формула Томпсона

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси Х около положения равновесия, принятого за начало координат, тогда Зависимость координаты Х от времени t будет описываться

х=Acos(ω₀t+φ)

Скорость и ускорение колеблющейся точки есть первая и вторая производная от смещения по времени, тогда скорость:

Скорость: V=x`= A ω cos (ωt + φ+ )

Ускорение: а = v`= x``= A ω² sin (ωt + φ + π)

Амплитуды скорости и ускорения равны A ω и A ω², фаза скорости отличается от фазы ускорения на , а фаза ускорения на π

Сила, действующая на материальную точку, согласно закону Ньютона F=ma, тогда F=-m ω₀²x

То есть, пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в противополож­ную сторону, то есть к положению равновесия.

Энергия гармонических колебаний

Чтобы придать материальной точке колебательное движение, нужно вывести ее из положения равновесия. Для этого выполняют определенную работу против вращающей силы. Эта работа будет мерой потениальной энергии, сообщенной точке извне:

П=

Потенциальная энергия точки в колебательном движении пропорциональна квадрату смещения.

После остановки действия внешней силы точка будет возвращаться в положение равновесия под действием квазиупругой силы. По мере уменьшения смещения, соответственно закону сохранения энергии , потенциальная энергия точки превращается в кинетическую.

Поскольку смещение точки x= Asin ωt и коэффициент квазиупругой силы k=m ω², то потенциальную энергию точки в колебательном движении можно определить по формуле:

П= =mv₀²x²/2=mA²ω₀²/2·cos²(ω₀t+φ)

П=mA² ω₀²/2[1+cos2(ω₀t+φ)]

E=П+Т=mA²ω₀²/2 Е=const

Кинетическая энергия колеблющейся материаль­ной точки равна:

В положении крайнего смещения потенциальная энергия максимальная, а кинетическая равна 0. С движением к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается; в момент равновесия потенциальная энергия равна 0, а кинетическая приобретает максимальное значение. За счет кинетической энергии точка дальше смещается в противоположный бок. Такие периодические колебания потенциальной и кинетической энергии происходят в процессе гармонических колебаний.

Полная энергия точки в колебательном движении состоит из суммы потенциальной и кинетической энергии:

Е=П+К=1/2 m ω² А² sin² ωt + 1/2 m ω² А² cos² ωt, или Е= ½ m ω² А²

То есть, энергия точки в колебательном движении пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты. Если система изолирована от других внешних вмешательств и точка колеблется без трения, то согласно закону сохранения энергия Е колебательного движения остается постоянной.

Электрический колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных катушки индуктивности L, конденсатора емкостью С и резистора, сопротивлением R.

По закону Ома для участка цепи IR= φ₁- φ₂ + ЭДС или IR = - -L , где q и φ₁- φ_{2 =} - - заряд конденсатора и вольный момент времени t, R-электрическое сопротивление колебательного контура, ЭДС –ЭДС самоиндукции.

.В момент времени t=0 зарядим конденсатор, при этом на обкладках конденсатора появляются заряды Q, следовательно, между обкладками конденсатора имеется электрическое поле, энергия которого равна:

Если конденсатор замкнут на катушку индук­тив­ности L, то он начинает разряжаться и в контуре начинает протекать ток I, который возрастает со временем. При этом заряд конденсатора уменьшается, а энергия магнитного поля: возрастает.

Полная энергия контура является суммой этих энергий и постоянна:

В момент времени t=1/4Т конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля равна 0, а энергия магнитного поля , а следовательно, и ток, достигнут максимума.

Начиняя с момента времени t=1/4Т, ток в контуре уменьшается, магнитное поле начинает ослабевать и в катушке индуцируется ток, который по правилу Ленца течет в том же направлении, что и ток разрядки конденсатор. Конденсатор начнет разряжаться, воз­никнет электрическое поле, ослабляющее ток, кото­рый в конечном счете достигнет 0, и в этот момент заряд на обкладках достигнет максимума. Теперь конденсатор перезаряжен и после этого процессы начнут протекать в обратном направлении и система к моменту времени t=Т вернется в первоначальное состояние.

После этого повторно начнется процесс переза­рядки конденсатора, то есть возникнут электрические колебания, сопровождающиеся превращениями энер­гий электрического и магнитного полей.

Если R=0, то дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре описывается:

А заряд Q совершает гармонические колебания, которые описываются выражением:

Q=Q_maxcos(ω₀t+φ)

Q_max — максимальный заряд на обкладках конденсатора (амплитуда заряда),

ω₀ — собственная частота колебательного контура.

Она равна:

Отсюда период Т=2π - формула Томсона.

51. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Сложение гармонических колебаний одного направления и мало отличающиеся по частоте. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Тело может участвовать в нескольких гармонических колебаниях.

Сложим колебания одного направления одинаковой частоты:

x₁ =A₁cos(ω₀t+φ₁)

х₂=A₂cos(ω₀t+φ₂)

Если векторы А₁ и А₂, вращаются с одина­ковой угловой скоростью ω₀. И разность фаз φ₂- φ₁=const., то ур-е результиру­ющих колебаний может иметь вид:

х= x₁+ x₂=Аcos(ω₀t+φ)

A u φ определяются из выражений:

A²=A₁²+A₂²+2A₁A₂cos(φ₂- φ₁)

Тело, участвуя в двух гармони­чес­ких колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, но ампли­ту­да этих результирующих колебаний зависит от разно­сти фаз (φ₂- φ₁).

Частные случаи:

1. (φ₂- φ₁)=2nπ (n=1,2,3,…)

A=A₁+A₂

2. (φ₂- φ₁)= (2n+1)π

A=|A₁-A₂|

В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периоди­ческие изменения амплитуды при сложении колеба­ний с близкими частотами называются биениями.

Пусть амплитуды A₁=A₂=A

ω и ω+∆ω

∆ω<<ω

Если начальные фазы обоих колебаний равны 0, то:

x₁=Acos(ωt)

х₂=Acos(ω+∆ω)t

Сложим колебания х₁ и х₂ и учтем, что ∆ω/2<<ω, что

cos x+cos y=2cos(x+y)/2*cos(x-y)/2

cos(-α)=cos(α)

Получим:

x=(2Acos(∆ωt/2))cos ωt

Амплитуда биения:

ω_биен=∆ω

Рассмотрим сложение двух гармонических коле­баний одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Если начальная фаза первого колебания равна 0, то:

х=Acosωt

у=Вcos(ωt+ α)

α — разность фаз этих колебаний.

Тогда:

Так как cosωt =х/А, а sinωt=

Это ур-е эллипса, оси которого произволь­но ориентированы относительно осей координат, а результирующие колебания называются эллиптически поляризованными.

Частные случаи:

1. Если α=mπ (m=1, 2, 3, …, n), то эллипс превращается в прямой отрезок:

Результирующие колебания — гармонические, с частотой ω, а амплитуда

А=

Эти колебания называются линейно поляризован­ными.

2. Если α=π/2(m+1) (m=1, 2, 3, …, n)

— это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат х и у, а его полуоси — амплитуды колебаний.

Если А=В, эллипс превращается в окружность и такие колебания называются поляризованными по кругу.

Если частоты, суммируемых взаимно перпенди­кулярных колебаний различны, то замкнутая траекто­рия результирующих колебаний сложная. Такие колебания называются фигурами Лиссажу.

Вид этих кривых зависит от соотношения ампли­туд, частот колебаний и разности их фаз.

Кривые Лиссажу можно оценить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот суммируемых колебаний.

Анализ фигур Лиссажу используется как метод оценки соотношения частот разности фаз суммиру­емых колебаний.

52. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний. Период и частота затухающих колебаний. Время релаксации. Период и частота затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания и добротность.

В реальной колебательной системе из-за рассея­ния энергии упругих колебаний, амплитуда с течени­ем времени уменьшается и это называется затуханием колебаний.

Затухание колебаний обусловлено трением в системе, возбуждением в окружающей среде упругих волн.

Затухание в электрических колебательных систе­мах обусловлено омическими потерями на излучение электромагнитных волн, а также потерями в ферромагнетиках и диэлектриках из-за магнитного и электрического гистерезиса.

Дифференциальное уравнение свободных затуха­ющих колебаний описывается:

S — колеблющаяся величина

δ — коэффициент затухания

ω₀ — циклическая частота свободных колебаний, являющихся собственной частотой колебательной системы.

Решение этого уравнения имеет вид:

S=e^-δtu u=u(t)

Если взять первую и вторую производные от u по t и подставить их в исходное уравнение, то u′′+(ω₀² – δ²)u=0

Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента перед u:

Если ω₀² – δ²>0, то обозначим ω²= ω₀² – δ², тогда u′′+ ω²u=0, а решение уравнения будет:

u=A₀cos(ωt+φ)

При малых затуханиях, то есть δ²<< ω₀²

S=A₀e^-δtcos(ωt+φ)

где А=A₀e^-δt

A₀ — амплитуда начальных колебаний,

А — амплитуда затухающих колебаний.

Промежуток времени τ=1/δ называется временем релаксации и показывает величину промежутка времени, в течении которого А уменьшается в е раз.

Затухающие колебания не являют­ся периодическими, но если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода и частоты.

Если амплитуда А(t) и А(t+Т), то их отношение будет равняться е^δе.

е^δt — декремент затухания.

А логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания.

Ne — число колебаний з время уменьшения амплитуды в е раз.

Для характеристики колебаний системы используется также понятие добротность: