Билет 9

Предельный переход в неравенствах

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если , то xn > 0, однако .

Следствие 1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности {yn - xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

В самом деле, так как a ≤ xn ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

Теорема. Пусть {xn} и {zn} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn} удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {yn - a} является бесконечно малой. Обозначим через N* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства xn - a ≤ yn - a ≤ zn - a. Отсюда следует, что при n ≥ N* элементы последовательности {yn - a} удовлетворяют неравенству

|yn - a| ≤ max {|xn - a|, |zn - a|}.

Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при n ≥ N1 |xn - a| < ε, а при n ≥ N2 |zn - a| < ε. Пусть N = max{N*, N1, N2}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |yn - a| < ε. Итак, последовательность {yn - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.

Билет 10

признак сходимости

монотонной последовательности

Определение 1. Последовательность {xn} называется возрастаю+

щей, если xn < xn+1 для всех n; неубывающей — если xn < xn+1 для

всех n; убывающей — если xn > xn+1 для всех n; невозрастающей —

если xn > xn+1 для всех n.

Все такие последовательности объединяются одним общим

названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убы_

вающие последовательности называются строго монотонными.

Примеры

1. Последовательность1,1/2,1/3…n убывающая и ограниченная.

2. Последовательность1,1.1/2.1,2.1/3.1,3..1/n невозрастающая и огра_

ниченная.

3. Последовательность 1, 2, 3, …, n возрастающая и неограни_

ченная.

4. Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n неубывающая

и неограниченная.

5. Последовательность 1/2, возрастающая и огра_

ниченная.

Монотонные последовательности ограничены по крайней ме_

ре с одной стороны: неубывающие последовательности — снизу

(xn > x1 для всех n), невозрастающие — сверху (xn < x1 для всех n).

Оказывается, что если монотонная последовательность ограни_

чена с обеих сторон, т. е. просто ограничена, то она сходится.

Немонотонные последовательности этим свойством не обладают.

Например, немонотонная последовательность {(–1)n} ограниче_

на, но не сходится.

Определение. Верхняя (нижняя) грань множества значений эле_

ментов последовательности {xn} называется верхней (нижней) гранью

этой последовательности и обозначается sup{xn} или (и со_

ответственно inf{xn} или ).

Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это опреде_

ление можно сформулировать следующим образом.

Число a является верхним (нижним) пределом последователь_

ности {xn} при n = 1, 2, … если:

1) xn < a (соответственно xn > a) для всех n;

2) для любого > 0 существует такой номер n, что

(соответственно ).

Теорема. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно воз_

растающая (монотонно убывающая) последовательность имеет

предел, причем (соответственно =

= ).

Доказательство. Пусть последовательность {xn} монотонно

возрастает и ограничена сверху. В силу последнего условия она

имеет конечную верхнюю грань sup{xn} = a . Покажем, что a= ,

зафиксируем произвольное > 0. Из того что a = sup{xn}, следует,

что xn < a для всех номеров n = 1, 2, … и существует такой номер

n, что . Тогда в силу монотонности заданной после_

довательности для всех номеров n > nимеем 