- •Отношения между множествами
- •Основные операции над множествами
- •Билет 2 Счётные множества
- •Счетность множества рациональных чисел.
- •Билет 3
- •Билет 4 Определение иррационального числа
- •Множество действительных чисел
- •Расширенная числовая прямая
- •Билет 5 Ограниченные и неограниченные множества
- •Верхняя и нижняя грань множества
- •Билет 6 Числовая последовательность
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Билет 7 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Билет 8 Сходящиеся последовательность
- •Билет 9
- •Билет 10
- •Билет 11
Расширенная числовая прямая
Расширенная числовая прямая (читается «эр с чертой») — множество вещественных чисел , дополненное двумя элементами: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть
Бесконечности и , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства
Cледует отличать расширенную числовую прямую от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью . Такая система называется проективной прямой, и обозначается
Билет 5 Ограниченные и неограниченные множества
Множество Е точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество Е называется ограниченным, а во втором — неограниченным. Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка , а примером неограниченного множества—множество всех точек с целыми координатами.
Нетрудно видеть, что если а — фиксированная точка на прямой, то множество Е будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки а до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.
Верхняя и нижняя грань множества
Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху числовое множество Е R, называется его верхней гранью и обозначается β = sup E, то есть
1: x E: x ≤ β,
2: ε > 0 x E: x > β - ε.
Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих числовое множество Е R, называется его нижней гранью и обозначается α = inf E, то есть
1: x E: x ≥ α,
2: ε > 0 x E: x < α + ε.
Билет 6 Числовая последовательность
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Определение
Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел R , либо множество комплексных чисел C . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью.
Примеры
Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x5 этой последовательности является слово «май».
Операции над последовательностями
На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.
Пусть на множестве X определена N-арная операция f:
Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества Xоперация f будет определяться следующим образом:
Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.
Суммой числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn + yn.
Разностью числовых последовательностей (xn) и (yn) называется числовая последовательность (zn) такая, что zn = xn − yn.
Произведением числовых последовательностей xn и yn называется числовая последовательность (zn) такая, что .
Частным числовой последовательности xn и числовой последовательности yn, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности yn на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .
Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.