Задача № 8.
Определить
доверительный интервал для оценки с
надежностью
неизвестного математического ожидания
а
нормально распределенного признака Х
генеральной совокупности, если известно
выборочное среднее
, объем выборки n
и генеральное
среднее квадратическое отклонение
.
(См. исходные данные в таблице).
Примеры решения задач к контрольной работе №7
Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда
.
Решение.
Имеем un
=
,
un+1
=
. Применяя признак Даламбера, вычислим
l
=
=
= =
= 0 <
1.
По признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда
.
Решение.
Введем функцию f
(x)
=
,
удовлетворяющую условиям
и
исследуем сходимость, используя
интегральный признак. Для этого вычислим
=
=
=
=
=
-
=
.
Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд
Пример 3. Найти интервал сходимости степенного ряда
.
Решение.
Составим
ряд из модулей членов данного ряда
и вычислим l
=
=
=
=
.
По признаку Даламбера ряд сходится при l < 1, отсюда
<
1 или |x|
<
3. Следовательно, ряд абсолютно сходится
при x
(-3,3). Исследуем сходимость ряда в
граничных точках. При x
=3 и x
= -3 из данного ряда получаем соответственно
числовые ряды
и
.
Из
интегрального признака сходимости
следует, что эти ряды сходятся абсолютно,
поэтому интервалом сходимости данного
ряда является промежуток [-3,3].
Пример 4. Вычислить определенный интеграл
cos
dx
с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.
Решение.
Пользуясь рядом Маклорена для cos
x,
заменяя в
нем x
на
,
имеем
cos
=1 –
+
–
+
–
...
(x
0).
Интегрируя в указанных пределах , получим
cos
dx
= x
–
+
–
+
…
= 1–
+
–
+
…
Четвертый член этого знакочередующегося сходящегося ряда меньше 0,001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять три первых члена ряда:
cos dx = 1– 1/4 + 1/72 = 0,764.
Пример 5. Разложить функцию f (x) = + x в ряд Фурье в интервале (- , ).
Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье.
Определяем коэффициенты ряда Фурье
a0
=
f
(x)
dx
=
(
+
x
)
dx
=
dx
+
x
dx.
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Поэтому a0 = dx = 2 . Аналогично,
=
f
(x)
cosmx
dx
=
(
+x)
cosmx
dx
=
= cos mx dx + x cosmx dx=0.
Далее,
=
f (x)
sin mx
dx =
(
+x)
sin mx
dx =
= sin mx dx + x sin mx dx.
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла четная, т.к. является произведением двух нечетных функций. Таким образом,
=
x
sin
mx
dx
=
=
=
-
cos
mx
+
cos
mx
dx
= -
cos
m
+
+
sin
mx
=
-
(
-1)
=
.
Разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
f
(x)
=
+ 2
sin
mx
=
+2
sin
2x
+
+
sin
3x
–
.
Пример
6.
Разложить функцию f
(x)
=
в ряд Фурье.
Решение. График периодического продолжения заданной функции на всю числовую ось с периодом 2 l = 4 имеет вид, изображенный на рис.3.
Рис. 1.
Определяем коэффициенты ряда Фурье
a0
=
f
(x)
dx
=
f
(x)
dx
=
=
= x
=2,
=
f (x)
cos
dx
=
2
cos
dx
=
=
sin
=
(sin
n
- sin
0) = 0,
=
f (x)
sin
dx
=
2sin
dx
=
=
cos
=
(- cos
n
+ 1) =
[( -1)
+
1]=
=
Получаем ряд Фурье
f
(x)
= 1 +
+
sin
+...
+
.
Пример 7. Найти изображение по Лапласу функции
f
(x)=
cos
4t
sin
2t.
Решение. Предварительно преобразуем исходную функцию, воспользовавшись формулой
sin ax cos bx = ( sin (a+b) + sin (a -b)),
будем
иметь f
(x)
=
(sin
6t
- sin
2t).
Зная изображения функций sin
6t
и
sin
2t
,
по теореме смещения получим
sin
6t
;
sin
2t
.
Используя свойство линейности изображений Лапласа, окончательно запишем
f (x) = sin 6t - sin 2t
-
.
Пример 8. Найти функцию-оригинал для функции
F
(p)=
.
Решение. Для отыскания функции-оригинала по данному изображению разложим функцию F (p) на простейшие дроби
F
(p)
=
=
+
+
.
Неизвестные А, В, С и D находим методом неопределенных коэффициентов. Для этого приводим правую часть равенства к общему знаменателю
=
.
Из тождественного равенства дробей заключаем, что коэффициенты при соответствующих степенях р в числителях дробей слева и справа от знака равенства должны быть равны. Это приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов А, В, С, D
А
+ С = 0
Откуда получаем
В
+ D
= 0
A
= 0, B
= 1/4,
4A
=0
C
=0, D
= -1/4.
4B
= 1.
Поэтому
=
-
.
Для каждой из полученных дробей с помощью таблицы изображений основных элементарных функций легко установить функцию-оригинал
t;
=
sin
2t.
Откуда F (p) = t - sin 2t.
Пример
9. Методом
операционного исчисления найти решение
дифференциального уравнения
с начальными условиями х(0)
= 0,
1.
Решение.
Пусть решение x
(t)
имеет изображение
(p),
x
(t)
¸
(p).
Тогда по теореме о дифференцировании
оригинала получим
(t)
¸
p
(p)
-
x(0);
(t)
¸
p2
(p)
-
p
x(0)-
(0).
Запишем
изображение правой части исходного
уравнения
¸
,
тогда заданное дифференциальное
уравнение примет вид
(p2 (p) - 1) - 3 ( p (p) - 0) - 4 (p) =
или (p) (p2- 3 p - 4) = 1+ .
Поэтому
(p)
=
.
Функция (p) является изображением решения исходной задачи. Найдем функцию-оригинал x(t). Для этого разложим дробь на простейшие
=
=
+
+
.
Методом неопределенных коэффициентов получим А=1/5, B=4/25, C=-4/25.
Для полученных дробей найдем функции-оригиналы
¸
t
;
¸
;
¸
.
Окончательно решение дифференциального уравнения запишется в виде
x
(t)
=
+
-
.
Пример 10. Найти решения системы уравнений
удовлетворяющие начальным условиям x(0) = y(0) = 0.
Решение.
Обозначим x
(t)
¸
x(p)
, y
(t)
¸`
(p)
и напишем систему вспомогательных
уравнений
(3p
+ 2)
(p)
+ p
(p)
= 1/p,
p
(p)
+(4 p
+3)
(p)
= 0.
Решая эту систему, находим
(p)
=
=
-
-
,
(p)
= -
=
=
.
Здесь правые части уравнений разложены на простейшие дроби, как показано в примере 8 . По изображениям находим функции-оригиналы, т.е. искомые решения системы
x(t)
=
-
-
,
у(t)
=
(
-
).