Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Опр. Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

(31)

где - искомая функция аргумента , а функции заданы и непрерывны на некотором промежутке

Если всюду в функция тождественно равна нулю, то уравнение (31) называется линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (32)

Отметим его свойства:

1. Если функция является решением уравнения (32), а - любая постоянная, то и функция есть также решение уравнения (32).

2. Если функции являются решениями уравнения (32), то и их сумма также является решением уравнения (32).

3. Если функции являются решениями однородного уравнения (32), то их линейная комбинация

где - произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.

Опр. Функции , определенные и непрерывные на интервале , называются линейно зависимыми на , если существует такой набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что при любом на интервале выполняется тождество

Если же это тождество выполнено только при условии , то функции называют линейно независимыми на интервале .

Видно, что если функции линейно зависимы на , то, по крайней мере, одну из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. Например,

если .

Пусть функции дифференцируемы раз на интервале . Рассмотрим определитель -го порядка

который называют определителем Вронского (вронскианом) для рассматриваемых функций. Он является функцией от , определенной на интервале

Теорема (признак линейной независимости решений линейного однородного уравнения). Для того, чтобы решений уравнения (32) были линейно независимы на необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского для этих решений не обращался в нуль ни в одной точке из

Использование этого признака облегчается наличием двух важных свойств:

1. Если определитель Вронского для этих решений обращается в нуль в одной точке интервала , то он равен нулю во всех точках

2. Если определитель Вронского для этих решений не равен нулю в одной точке интервала , то он отличен от нуля во всех точках

Опр. Фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения -го порядка на интервале называется любая система из решений этого уравнения, линейно независимых на .

Теорема (о структуре общего решения однородного линейного уравнения). Если - фундаментальная система решений уравнения (32) на интервале , то линейная комбинация этих решений

где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (32) в области

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида (31)

где - искомая функция аргумента , а функции заданы и непрерывны на некотором интервале .

Если в уравнении (31) сохранить левую часть, а в правой функцию f(x) заменить нулем, то получим так называемое однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (31).

Теорема (о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения). Общее решение линейного неоднородного уравнения (31) в области

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения в указанной области, т.е.

(33)

где - частное решение уравнения (31), - фундаментальная система решений однородного уравнения (32), а - произвольные постоянные

Теорема (принцип наложения решений). Если на промежутке функция - частное решение уравнения а функция - частное решение уравнения

то на этом же промежутке функция есть частное решение уравнения

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение второго порядка (39) где и - любые вещественные числа.

Л.Эйлер предложил искать частные решения этого уравнения в виде где - некоторое число.

Подставим в левую часть уравнения и получим

Множитель отличен от нуля, следовательно, число должно быть корнем уравнения (40)

Это уравнение называется характеристическим уравнением уравнения (39), а его корни - характеристическими числами уравнения (39).

Уравнение (40) квадратное и имеет два корня и .

Структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения. Рассмотрим три возможных случая:

1) Пусть - вещественные и различные. Тогда частные решения уравнения запишутся так:

Найдем определитель Вронского

Эти решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (39), следовательно, его общее решение можно записать в виде

где и - произвольные постоянные.

2) Пусть - вещественные и равные.

В этом случае дискриминант квадратного уравнения равен нулю и . Одно решение получается на основании предыдущих рассуждений: это функция Подстановкой можно убедиться в том, что функция является решением уравнения (40) и линейно независима с решением следовательно, общее решение уравнения (39) имеет вид

где и - произвольные постоянные.

3) Пусть - комплексные корни. Так как числа и вещественные, то и являются сопряженными.

Можно показать, что паре комплексных сопряженных корней

соответствует два линейно независимых частных решения

и, следовательно, общее решение уравнения (39) в этом случае имеет вид

где и - произвольные постоянные.

Примеры. Найти общее решение для уравнений

1) .

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение для него:

Найдем корни характеристического уравнения

Общее решение будет иметь вид где и - произвольные постоянные. 2) .

Составим характеристическое уравнение: .

Найдем его корни

Общее решение будет иметь вид где и - произвольные постоянные.

3) .

Составим характеристическое уравнение

Найдем его корни

Запишем общее решение где и - произвольные постоянные.