Общее, частное и особое решения.

Если закрепить начальное значение абсциссы , а начальному значению придавать различные допустимые значения то каждому такому значению будет соответствовать единственная интегральная кривая, и в области множество всех интегральных кривых образует семейство кривых, зависящих от одного параметра, который может изменяться в определенных пределах и который принято обозначать через , так что все семейство интегральных кривых может быть описано уравнением

(4)

Опр. Функция , непрерывно дифференцируемая по , называется общим решением уравнения в области , если она удовлетворяет следующим условиям:

1) равенство разрешимо в области относительно произвольной постоянной:

2) функция является решением уравнения для всякого значения постоянной , полученной выше, где точка - любая точка из области .

Чтобы решить задачу Коши для любых начальных значений из области , надо заменить в формуле (4) переменные и числами и , решить полученное уравнение относительно , т.е. получить соотношение , и подставить найденное значение в общее решение . Полученная функция и есть искомое решение.

Опр. Общее решение уравнения записанное в виде, не разрешенном относительно искомой функции, т.е. в виде

или , называют общим интегралом этого уравнения.

Решение, которое получается из общего решения если в нем произвольной постоянной придать конкретное значение, называется частным решением.

Решение, которое не может быть получено из общего решения (общего интеграла) ни при каком конкретном значении произвольной постоянной, называется особым решением. Геометрически ему соответствует интегральная кривая, не содержащаяся в семействе интегральных кривых, составляющих общее решение. Через каждую точку такой интегральной кривой проходит, по крайней мере, еще одна интегральная кривая из общего решения того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную.

Пример. Рассмотрим уравнение

Т.к. правая часть этого уравнения и ее частная производная

удовлетворяют условиям теоремы во всех точках плоскости за исключением точек оси , то через любую точку при проходит единственная интегральная кривая данного уравнения. Т.к. , то

В левой части равенства стоит дифференциал функции , а в правой - дифференциал функции . Дифференциалы функций равны, значит, сами функции отличаются на константу , тогда или

Найденная функция является общим решением заданного уравнения всюду на плоскости за исключением оси . Рассмотрим точки оси Ох. Подставим функцию в уравнение Получим тождество, т.е. является решением данного уравнения. Это решение является особым, т.к. не может быть получено из общего решения ни при каком значении постоянной .

З

аметим, что через каждую точку оси проходит кривая совпадающая при с общим решением, касательной к которой в этой точке является сама ось