- •Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Общее, частное и особое решения.
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Возвращаясь к старой переменной, получим общее решение уравнения (12) в области : где - любое число.
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •Метод и.Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •Учитывая, что ,
- •Искомое частное решение имеет вид
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальное уравнение -го порядка с одной неизвестной функцией у аргумента всегда можно записать в виде
где означает известную функцию своих аргументов, причем производная обязательно содержится в уравнении.
Решением дифференциального уравнения -го порядка на промежутке называется всякая функция
которая определена и раз дифференцируема на этом промежутке и которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на промежутке .
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Первый тип - это уравнение вида (26) где - функция, непрерывная на некотором промежутке . Т.к.
то уравнение (26) можно записать в виде
откуда следует . (27)
Учитывая, что ,
проинтегрируем (27) и получим где C1 и C2 - постоянные.
Так получим общее решение данного уравнения в области
Пример. Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Это уравнение рассмотренного типа. Т.к. функция непрерывна на всей оси , то общее решение может быть получено после трехкратного последовательного интегрирования функции , а именно
где - произвольные постоянные.
Для получения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, подставим в полученные выражения соответствующие начальные значения:
, откуда
Искомое частное решение имеет вид
Второй тип - это уравнение вида (28)
где - заданная функция своих аргументов, а натуральное число удовлетворяет неравенству , т.е. это тип уравнения, не содержащего искомой функции и ее производных до порядка включительно.
Введем новую неизвестную функцию , положив (29)
Тогда
и уравнение (28) принимает вид
Это дифференциальное уравнение порядка относительно неизвестной функции , то есть порядок понижается на единиц.
Пример. Решить уравнение , считая, что .
Данное уравнение не содержит неизвестной функции и ее производной вводим подстановку
и получаем уравнение первого порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому ,
,
.
Вернемся к переменной y:
получим дифференциальное уравнение второго порядка первого типа.
Выполняя последовательно двукратное интегрирование функции , получим общее решение данного уравнения
где С1, и - произвольные постоянные.
Третий тип - это уравнение вида (30)
где - заданная функция своих аргументов, т.е. это тип уравнений, не содержащих явно независимой переменной. Порядок уравнения этого типа может быть понижен на единицу. Введем подстановку
В согласии с правилом дифференцирования сложной функции будем иметь
Используя полученное выражение, имеем
Заменяя в уравнении (30) производные полученными выражениями, запишем дифференциальное уравнение порядка относительно новой неизвестной функции аргумента где - известная функция своих аргументов.
Пример. Решить уравнение
Данное уравнение имеет второй порядок и не содержит явно независимой переменной и поэтому относится к третьему типу. Если ввести подстановку считая функцией , то
а тогда данное уравнение можно записать в виде .
Это дифференциальное уравнение распадается на два:
Первое из них дает , т.е. , где =const
Разделим переменные во втором уравнении и проинтегрируем его:
Т.к. , то
, откуда (*)
При решение первого уравнения содержится в выражении (*). Значит, (*) представляет собою общий интеграл данного в условии уравнения.