Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

1) Рассмотрим вначале однородное уравнение (15)

Легко видеть, что уравнение (15) является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому

И нтегрируя, получим

где - произвольная положительная постоянная. Значит, , где C >0 или C<0.

Утерянное при разделении переменных решение y=0 получается отсюда при C=0.

2) Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения .

По методу Лагранжа будем искать его решение в том же виде, что и решение однородного уравнения, заменяя в нем произвольную

постоянную некоторой, пока неизвестной, непрерывно дифференцируемой на функцией , т.е.

(16)

где функцию нужно выбрать так, чтобы эта функция была решением уравнения (14) (варьируя произвольную постоянную).

Метод и.Бернулли.

1) В согласии с этим методом будем искать решение уравнения (14)

в виде произведения двух непрерывно дифференцируемых на промежутке функций и , одна из которых может быть выбрана по нашему желанию, а другая определяется с помощью самого уравнения: (17)

Подставив (17) в (14), получим (опуская аргумент или

2) Выберем функцию так, чтобы коэффициент при (т.е. выражение, стоящее в круглых скобках) равнялся нулю

Данное уравнение сходно с уравнением (15) и его общее решение имеет вид

В частности, при

3) Подставим найденную функцию u(x) в уравнение (18)

и получим уравнение для определения функции

Тогда

Поэтому

, где - произвольная постоянная.

4) Наконец, подставим значения и в (17).

Пример . Решить уравнение (19)

для двумя методами: Лагранжа и Бернулли.

1. В согласии с методом Лагранжа рассмотрим сначала однородное уравнение

Разделяем переменные:

Выполняя интегрирование, получим общее решение уравнения (19) (20) где - произвольная постоянная.

По методу Лагранжа будем искать решение неоднородного уравнения (19) в виде (20), но вместо произвольной постоянной возьмем некоторую непрерывно дифференцируемую функцию : (21)

Подставим (21) в уравнение (19): ,

откуда следует , тогда

где - произвольная постоянная. Подставив это выражение в (21), получим общее решение уравнения (19) на плоскости в виде

2. Следуя методу И.Бернулли, будем искать решение уравнения (19)

в виде (22)

где и - непрерывно дифференцируемые функции. Подставив (22) в (19), получим

Или (23)

Выберем функцию так, чтобы коэффициент при равнялся тождественно нулю, т.е.

Найдем общее решение этого уравнения:

где - произвольная постоянная. Положив , найдем частное решение

(24)

Подставим его в уравнение (23): ,

откуда (25) где - произвольная постоянная. Подставляя (24) и (25) в (22), получим то же самое решение, что и по методу Лагранжа: