11 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если - полярный угол нормали, р - длина отрезка (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением точки от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, =0). Если даны координаты , точки и нормальное уравнение прямой , то отклонение точки от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: .

Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.

12 Вычисление угла между прямыми

Пусть прямые  и  заданы общими уравнениями

и

Обозначим через φ величину угла между прямыми  и (напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторами  и  этих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, то φ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенство  Из теоремы 11.10 следует, что

и, следовательно,

Записав через координаты, получим

Если прямые  и  заданы уравнениями с угловыми коэффициентами  и

и

то нормальные векторы этих прямых могут быть    и выражение для косинуса угла между этими прямыми будет иметь вид:

Из последнего выражения следует, что если  то cos φ = 1 и φ = 0, то есть прямые параллельны или совпадают. С другой стороны, если прямые параллельны, то φ = 0 или cos φ = 1. Подставляя в правую часть вместо cos φ его значение 1, умножая обе части на знаменатель и возводя в квадрат, получим

Отсюда получаем

Если  то cos φ = 0 и  то есть прямые перпендикулярны. Обратно, если прямые перпендикулярны, то   или cos φ = 0. Отсюда следует с необходимостью

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами  и  формулируются следующим образом.

Т еорема 11.13. 

Для того чтобы прямые  и  были

• параллельны, необходимо и достаточно, чтобы  

• перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

Пользуясь знанием координат направляющего и нормального векторов прямых, заданных общими уравнениями, можно сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямых через коэффициенты общих уравнений этих прямых.

Т еорема 11.14. 

Для того чтобы прямые  и  были

• параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты их уравнений при одноименных неизвестных были пропорциональны, то есть

• перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Доказательство

Пусть    – направляющие векторы прямых. Тогда необходимым и достаточным условием параллельности прямых является условие коллинеарности векторов  и  то есть Так как при этом  и  то k ≠ 0. Поэтому, если один из коэффициентов равен нулю, например  то с необходимостью  При этом     С учетом этого можно записать откуда формально следует Отметим при этом, что если одновременно  то оба уравнения задают одну и ту же прямую и в этом случае прямые совпадают. Если же  то прямые параллельны. Неоходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых является условие ортогональности их направляющих векторов  и  для чего, в свою очередь, необходимо и достаточно равенство нулю их скалярного произведения, то есть что и требовалось доказать.

Пусть задана прямая l общим уравнением Ax + By + C = 0 и некоторая точка  лежащая вне прямой. Поставим задачу найти расстояние  от этой точки до прямой l. Опустим перпендикуляр  из точки  на прямую l и обозначим    радиус-векторы точек  и  соответственно (см. рис. 11.6.1). Очевидно,

1

Рисунок 11.6.1.

Пусть  – некоторая точка прямой l, отличная от точки  Тогда уравнение прямой l можно записать в нормальной векторной форме:

где  а  – вектор нормали к прямой l. Или, в векторной форме,

Очевидно, справедливо векторное равенство  причем   поэтому   Умножив обе части равенства скалярно на вектор , получим

Так как точка   лежит на прямой l, то   и, следовательно,  Подставляя в исходное равенство, найдем

Отсюда

Переходя к координатной форме записи и учитывая, что    имеем

Таким образом верна теорема

Т еорема 11.15. 

Растояние от точки до прямой l, заданной уравнением Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле