31.Вычисление площадей плоских фигур

∑ⁿ_i=1 f(c_i)*∆x_i = f(c₁)∆x₁ + f(c₂)∆x₂ + f(c_n)∆x_n (1).

Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].

О пред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается _a∫^b f(x)dx.

1.Пусть ф-ия y=f(x) неотрицательна и непрерывна на (а;в), тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой y=f(x) на (а;в) численно = опред-ому интегралу. S= _а^в f(x)dx

2.Пусть ф-ия y=f(x) неположит-на и непрерывна на (а;в), тогда S= -_а^в f(x)dx

3 .Если фигура , S к-ой лежит как выше, так и ниже оси ОХ, то S=_а^в f(x)dx

4.Если фигура ограниченна 2-х ф-ий на (а;в), то её S=_а^в (f₁(x)-f₂(x))dx, f₁(x)>f₂(x)

32.Вычисление объемов тел вращения

∑ⁿ_i=1 f(c_i)*∆x_i = f(c₁)∆x₁ + f(c₂)∆x₂ + f(c_n)∆x_n (1).

Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].

Опред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается _a∫^b f(x)dx.

А ).Вращение вокруг оси ОХ: пусть на (а;в) задана непрерывна знакопостоянная ф-ия y=f(x). Необходимо найти V тела V_х образованного приращением вокруг оси абцис криволинейной трапеции ограниченной линиями y=f(x) x=a, x=b, y=0. Для решения задачи применим тот же подход, к-ый был использован для нахождения S криволинейной трапеции. Разобьем (а;в) на элементарные отрезки точками а=х_о х_o<x₁<x₂…<x_n и возьмем внутри каждого отрезка производной точки С_j. Тогда нек-ое приближение для искомого V даст следующую сумму ⁿ_i=1f²(Ci)x_i (1), где каждое слагаемое этой суммы явл-ся.

V цилиндра с в высотой равной длине отрезка х_i= х_i- х_i-1 и радиусом основания f(C_i). Очевидно, что приближение для искомого V_x будет тем лучше чем меньше длина отрезков разбиения. Поэтому искомый V логично взять V_x=lim_maxx0ⁿ_i=1f²(C_i)x_i (2). Выражение стоящих в правой части равенства(2) представляет собой предел интегрируемой суммы, поэтому по определению определенного интеграла можем сказать, что V_x=_а^в f²(x)dx (3)

Б).Вращение вокруг оси ОУ: формально заменяя в формуле (3) переменную х на у получим формулу для вычисления Vтела лученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ординат Vy=_c^d ²(y)dy (4)

33.Несобственный интеграл первого рода.

При определении опред-ого интеграла предполагалось, 1.отрезок интегр-ия конечен. 2.Ф-ия непрерывна на отрезке интегр-ия: если нарушено одно из условий, то опред-ый интеграл наз-ся несобственным интегралом, причем если отрезок интегрирования неограничен, то интеграл наз-ся несобственным интегралом Iрода, а если же ф-ия неограниченна на отрезке интегрирования, то интеграл наз-ся несобственным интегралом IIрода.

Пусть ф-ия y=f(x) непрерывна на интервале [а;+∞). Рассмотрим интеграл _а^∞ f(x)dx. Вычисление несобственного интеграла можно свести к вычислению обычного интеграла и нахождение предела _а^∞ f(x)dx=lim_b∞_а^b f(x)dx. Если предел стоящий справа сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся, и он = значению его предела. В противном случае наз-ся расходящимся. Пусть ф-ия F(x) одна из первообразных f(x), тогда lim_b∞_a^bf(x)dx=lim_b∞(F(b)-F(a))=lim_b∞F(b)-F(a). Обозначим lim_b∞F(b)=F(+∞), тогда _а^+∞f(x)dx=F(-∞)-F(a)-это обобщения формула Ньютона-Лейбница для вычисления несобственного интеграла.

Пример, исследовать несоб-ный интеграл на сходимость и найти его значение при сходящем. ₁^∞ dx/(x+1)³=lim_b+∞(x+1)^-3d(x+1)= lim_b+∞(x+1)^-2/-2₁^b=-1/2 lim_b+∞1/ /(x+1)²₁^b=-1/2lim_b+∞((1/(b+1)²)-1/4)=1/8 аналогично опред-ся несоб-ный интеграл Iрода по др неогранич промежутку. Рассмотрим несоб-ный интеграл (-∞;в], те _-∞^bf(x)dx=lim_a-∞_а^b f(x)dx=F(b)-F(-∞) Рассмотрим интеграл (-∞;+∞), те _-∞^+∞ f(x)dx. Данный интеграл сводится предыдущими 2-мя типами возьмем произвольную т.С: _-∞^+∞ f(x)dx=_-∞^С f(x)dx+_С^+∞ f(x)dx=lim_A∞_A^C f(x)dx+_C^B f(x)dx

Вычислите несоб-ный интеграл: _-∞^+∞e^xdx=_-∞⁰ e^x dx+₀^+∞ e^x dx= lim_a-∞_a⁰ e^x dx+lim_b+∞₀^b e^x dx= lim_a-∞e^x _a⁰ +lim_b+∞e^x₀^b = lim_a-∞(e⁰-e^a) +lim_b+∞(e^b-e⁰) = e⁰-e^-∞ +e^+∞-e⁰=-1/e^∞+e^∞=∞ расходится.