- •2.Предел функции. Геометрический смысл предела функции.
- •3. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства б.М. И б.Б. Функций.
- •5. Основные теоремы о пределах (разделено на несколько билетов).
- •6. Признаки существования пределов.
- •7. Первый замечательный предел, второй замечательный предел.
- •8. Непрерывность функции в точке.
- •10. Точки разрыва функций.
- •11. Производня функция.
- •12. Геометрический смысл производной.
- •13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •14. Свойства производных
- •15. Производная основных элементарных функций.
- •17.Свойства дифференциала.
- •18.Применение дифференциала к приближенным вычислениями.
- •19.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
- •20. Возрастание и убывание функции.
- •21. Экстремумы функции.
- •2 2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •23. Асимптоты графика функции.
- •24. Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •25. Свойства неопределенного интеграла.
- •26. Интегрирование некоторых рациональных и иррациональных дробей. Интегрирование подстановкой.
- •29. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.
- •30. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной в определенном интеграле.
- •31.Вычисление площадей плоских фигур
- •32.Вычисление объемов тел вращения
- •33.Несобственный интеграл первого рода.
- •34.Несобственный интеграл второго рода.
- •35.Дифференциальные уравнения
- •36.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
- •37. Линейные дифференциальные уравнения.
29. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.
∑ni=1 f(ci)*∆xi = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + f(cn)∆xn (1).
Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].
Опред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается a∫b f(x)dx.
1.При перемене местами пределов интегрирования, определенный интергал меняет знак на противоположный. ав f(x)dx=-ваf(x)dx
2.Опред-ый интеграл с одинаковым пределом и интегрирования =0. ав f(x)dx=0
3 .Постоянный множ-ль можно выносить за знак опред-ого интеграла ав f(x)dx=kав f(x)dx, где k=const
4.Если ф-ии f(x) и g(x) интегр-мы по отрезку (а;в), то их алгебраическая сумма также интегрируема по отрезку (а;в), причем интеграл от алгеб-ой суммы = алгеб-ой суммы интегралов ав (f(x)g(x))dx=ав f(x)dxав g(x)dx
5.Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке = сумме интегралов для каждой из возникших частей ав f(x)dx=ас f(x)dx+св f(x)dx
6.Опред-ый интеграл с семетричными пределами интегрирования =: а) -аа f(x)dx=0, где f(x)-нечетная ф-ия; б) -аа f(x)dx=2-аа f(x)dx, где f(x)-четная ф-ия
Формула Ньютона-Лейбница. Если ф-ия y=f(x) интегрируема на отрезке (а;в), то очевидно, что она интегрируема также на произвольном отрезке [а;х] вложенном в отрезок (а;в): Ф(х)= ах f(x)dx=аt f(x)dt, где Ф(х)наз-ся ф-ей или интегралом с переменным верхним пределом.
Теор. Пусть ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке(а;в)и ф-ии F(x) любая первообразная для f(x) на (а;в), тогда определенный интеграл на (а;в)=приращению первообразной на этом отрезке. ав f(x)dx=F(x)ab=F(b)-F(a). Пример: 1223х-4dx=12 23х-4d(3х-4)=(1/3)(23х-4/ln2)12=1/3((23*2-4/ln2)-(23-4/ln2))=1/3ln2(4-1/2)=(1/3ln2)(7/2)=7/6ln2
30. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной в определенном интеграле.
∑ni=1 f(ci)*∆xi = f(c1)∆x1 + f(c2)∆x2 + f(cn)∆xn (1).
Опред1.Сумма вида (1) наз-ся интегральной суммой ф-ии f(x) по отрезку [a;b].
Опред2.Если сущ-ет конечный предел интегральных сумм вида (1) при уменьшении длин отрезков разбиения, то он не зависит от способов разбиения отрезка. Этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) по отрезку [a;b] и обозначается a∫b f(x)dx.
1.Пусть ф-ии u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Проинтегрируем равенство для дифферен-ов d (u v) = vd u + ud v по отрезку [a;b]. a∫b d (u v) = a∫b vd u +a∫b ud v,
uv|ba = a∫b vd u +a∫b ud v, a∫b ud v = uv|ba - a∫b vd u, - это ф-ла интегрирования по частям в опред-ом интеграле. Эта ф-ла применяется к тем же типам интегралов, к-ые были рассмотрены в неопред-ом интеграле.
2.Пусть у=f(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на этом отрезке она имеет первообразную F(x). a∫b f(x)dx = F(b) – F(a)
Пусть ф-ия х = φ(t) явл-ся диффер-мой ф-ей на [α;β] и ее производная непрерывна на [α;β]. Она переводит отрезок [α;β] в [a;b]. φ: [α;β] → [a;b].
φ (α) = a, φ (β) = b (концы переводит в концы).
Тогда справедлива ф-ла замены переменной в опред-ом интеграле: a∫b f(x)dx = a∫b f(φ(t)) φ`(t)dt.