- •2.Предел функции. Геометрический смысл предела функции.
- •3. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства б.М. И б.Б. Функций.
- •5. Основные теоремы о пределах (разделено на несколько билетов).
- •6. Признаки существования пределов.
- •7. Первый замечательный предел, второй замечательный предел.
- •8. Непрерывность функции в точке.
- •10. Точки разрыва функций.
- •11. Производня функция.
- •12. Геометрический смысл производной.
- •13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •14. Свойства производных
- •15. Производная основных элементарных функций.
- •17.Свойства дифференциала.
- •18.Применение дифференциала к приближенным вычислениями.
- •19.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
- •20. Возрастание и убывание функции.
- •21. Экстремумы функции.
- •2 2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
- •23. Асимптоты графика функции.
- •24. Первообразная. Неопределенный интеграл.
- •25. Свойства неопределенного интеграла.
- •26. Интегрирование некоторых рациональных и иррациональных дробей. Интегрирование подстановкой.
- •29. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.
- •30. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной в определенном интеграле.
- •31.Вычисление площадей плоских фигур
- •32.Вычисление объемов тел вращения
- •33.Несобственный интеграл первого рода.
- •34.Несобственный интеграл второго рода.
- •35.Дифференциальные уравнения
- •36.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
- •37. Линейные дифференциальные уравнения.
37. Линейные дифференциальные уравнения.
Опред1.Уравнения, содержащее независимую переменную ф-ии, от этой переменной и ее производные различ порядков, наз-ся диф-ные уравнения. Общий вид f(x; y;yn;…y(n))=0
Линейным дифф-ым урав-ем наз-ся ур-е первого порядка, содержащее ф-ию у и ее производную в первой степени, и не содержащее произведение у*у`
a(x) y` + b(x)y + c(x) = 0 a(x)≠0
Разделим обе части уравнения на a(x)/
y` + p(x)y + q(x) = 0 (2), где p(x) = b(x)/a(x), q(x) = c(x)/a(x)
Будем искать реш-е ур-я (2) в виде произведения 2х неизвестных ф-ий: y = u*v
Подставим у = u*v в (2)
u`v + v`u + p(x)uv + q(x) = 0
v(u` + p(x)u) + v`u + q(x) = 0 (3)
выберем ф-ию u так, чтобы u` + p(x)u = 0:
(du)/(dx) = -p(x)u,
(du)/u = -p(x)dx,
∫(du)/u = ∫(-p(x))dx,
lnu = -∫p(x)dx,
u = e-∫P(x)dx .
подставим полученную ф-ию u(x) в (3) и найдем v(x):
v`e-∫P(x)dx + q(x) = 0
(dv)/(dx)*e-∫P(x)dx = -q(x)
dv = -q(x)* e-∫P(x)dx dx
∫dv = -∫q(x)* e-∫P(x)dx dx
v = -∫q(x)* e-∫P(x)dx dx + C.
Подставим ф-ии u(x) и v(x) в выражение для у: у = u*v = (-∫q(x)* e-∫P(x)dx dx + C)*
e-∫P(x)dx – общее решение линейного диф-го ур-я первого порядка.