Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Неоднородными линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка называются уравнения вида: (1)

Где - некоторые заданные функции.

Каждому линейному неоднородному уравнению можно подставить в соответствие однородное уравнение приравняв правую часть к 0 (2)

Теорема: Если известно какое-либо частное решение Y неоднородного уравнения (1) то общее решение дифференциального уравнения (1), складывается из частного решения Y и фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения (2).

Доказательство:

Обозначим, левая часть уравнения 1 , можно переписать тогда

так как - решение уравнения (1), То подставим вместо у Y , получим . Перейдем в уравнении (1) к новой переменной Z. и дифференциальное выражение (1) можно представить в виде: .

Используя свойство линейности оператора L : .

Таким образом приходим к линейному однородному уравнению .

Если - фундаментальная система решения однородного уравнения , то функцию z можно представить в виде: при этом функция y принимает значение (3)

Покажем, что выражение (3) действительно является общим решением уравнения (1), для этого необходимо показать, что для любого начального условия , можно подобрать коэффициенты , так чтобы полное частное решение удовлетворяло начальным условиям.

Выпишем производные до (n-1) порядка

(3’)

Подставим в левую часть (3’) начальное условие, а в правой части значение ,получим:

(4)

Систему (4) можно рассмотреть как систему линейных уравнений относительно неизвестных .

Корневой определитель этой системы является определителем Вронского, вычисленным в точке . Следовательно, система (4) является совместной определенной, то есть выражение (3) действительно определяет общее решение уравнения (1). Теорема доказана.

Метод вариации постоянных

Теорема: Если известно фундаментальная система решений соответствующего линейного уравнения (2), то общее решение линейного неоднородного уравнения (1) выражается в квадратурах.

Доказательство: (6)

Продифференцируем (6) по x, в результате получим:

При этом первая производная будет выражаться соотношением: (6’)

Вычислим вторую производную функции y:

Наложим на функцию условие, (7)

Поступая аналогично, вычислим все производные до (n-1) порядка включительно.

(7’)

Вычислим затем n-ую производную:

(6’)

Подставляя (6) и (6’) в (1), найдем, (8)

Поскольку является фундаментальной системой решений, те удовлетворяет уравнению (2), то выражение, стоящее в круглых скобках = 0, добавим к системе (7) полученное уравнение (8). Переходим к системе линейных уравнений относительно производной:

(9)

Определитель Вронского отличен от 0, система (9) является совместно определенной

(10)

Находим: (11)

Подставляя (11) в (6), находим общее решение уравнения (1).

Линейно дифференциальное уравнение используя выражение , можно рассматривать, с точки зрения метода вариации произвольных постоянных ,так из 2 функций u.v одна является решением соответственно однородного уравнения.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

, Рассмотрим соответствующее однородное уравнение,

Будем искать общее решение методом вариации постоянных.

Получаем

- общее решение неоднородного уравнения

Заметим, что в случае общего линейного дифференциального уравнения 2 порядка

- однородное уравнение.

Понижение порядка не всегда позволяет решить уравнение.

Уравнение Рикати, и в общем случае оно не разрешимо в квадратурах.