6.1.Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.Опр. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.Исходя из определения произведения матриц, можно записать:AX = E  , i=(1,n), j=(1,n), e_ij = 0, i  j,

e_ij = 1, i = j .Таким образом, получаем систему уравнений: Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

10.1 Теорема Конекера─Капелли. Решение произвольных систем.

10. Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)≠r(A), то система несовместна.

2. Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

8.1.Невырожденные системы.Фор-ы Краме. Метод Гаусса.

Реш невырожд-ных линейн сис-м. Форму Краме

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме А*Х=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае 

Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A^-1, получим

A^-1*A*X=A^-1*B Поскольку. A^-1*A=E  и Е*Х=Х , то

X=A^-1*B      

Отыскание решения системы по формуле называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (запишем в виде

 

то есть

Отсюда следует, что

Но  есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель_ получается из определителя   путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично:

 ,

 где 2  получен из   путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов:

,...,

Формулы

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом либо по формулам Крамера