§ 18. Свойства случайных погрешностей

Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами:

При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.

Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.

Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.

Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать так:

lim([▲]/n)=0,

где [▲] - знак суммы, т.е. [▲] = ▲₁ + ▲₂ +▲₃+ ... + ▲_n ,n- число измерений. n—>°°.

Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т.е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из п измеренных значений данной величины. При бесконечно большом числе измерений

lim([l]/n) = X. n→°°

При конечном числе измерений арифметическая средина х = [l]/n содержит остаточную случайную погрешность, однако от точного значения X измеряемой величины она отличается меньше, чем любой результат l непосредственного измерения. Это позволяет при любом числе измерений, если и > 1, принимать арифметическую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончатель­ного результата тем выше, чем больше п.

§ 19. Средняя квадратическая, предельная и относительная погрешности

Для правильного использования результатов измерений необхо­димо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к ис­тинному значению измеряемой величины, они получены. Характери­стикой точности отдельного измерения в теории погрешностей слу­жит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по формуле

где п - число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное зна­чение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наибо­лее близкий к истинному значению, - арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

где т - средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формуле (5) или (6).

г де δ - отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической средины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [δ] = 0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность М определяется по формуле

Часто в практике для контроля и повышения точности определяе­мую величину измеряют дважды - в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух получен­ных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения под­считывается по формуле

а среднего результата из двух измерений – по формуле

где d - разность двукратно измеренных величин, п - число разностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ±т; в интервал от 0 до ± 2т попадает 95,4%, а от 0 до ±3т - 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны Зт. На основании этого в качестве предельной погрешности ▲_пред для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. ▲_пред= Зт. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ▲_пред = 2т. Погрешность измерений, величины которых превосходят▲_пред, считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительная погрешность выражается в виде простой дроби, числитель которой -единица, а знаменатель - число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110м при т₁= 2 см равна т₁/l= 1/5500, а относительная предельная погрешность при ▲_пред= Зт = 6см, ▲_пред /l= 1/1800.