12. Подстановки.

Пусть XX , при этом если — биективно, то часто называют подстановкой. Мы ограничимся случаем, когда число элементов конечно, и равно n .

X ={1,2,3,…,n}, тогда отображение можно записать в виде таблицы:

(1)

Если подстановка, тогда — перестановка. Запись отображения в виде таблице (1) позволяет хорошо перемножать отображения.

Пример.

Теорема 1. Всякая подстановка конечного множества, содержащая не менее двух элементов, может быть представлена в виде произведения транспозиций.

< Пусть имеем = .Согласно теореме 3 предыдущего параграфа, существует последовательность транспозиций переводящая первую перестановку во вторую, пусть это будет следующая последовательность транспозиций t1,t2,…,tn. Тогда очевидно, что , ибо отображения действуют на одном и том же множестве и результат их действия одинаков. >

Замечание. Разложение подстановки в произведение транспозиций, вообще говоря, неоднозначно.

Теорема 2. Характер четности числа сомножителей во всех разложениях подстановки в произведение транспозиций один и тот же.

◄ Пусть подстановка вида (1) разлагается в произведение k транспозиций. Это значит, что существует последовательность k транспозиций, переводящая перестановку (1,2,…,n) (2) в перестановку (3). Однократное применение транспозиции меняет характер четности перестановки, поэтому k — четное число тогда и только тогда, когда перестановки(2) и (3) одного характера четности. Это и доказывает теорему. >

Определение 1. Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.

Упражнение. Число четных подстановок равно числу нечетных и равно n!/2.

13. Определение определителя. Свойства 1, 2.

Пусть А — некоторая матрица размеров n x n над полем Р.

A =

Возьмем из каждой строки и каждого столбца матрицы по одному элементу . Тогда (i_{1 ..........}i_n ) (1) будет некоторой перестановкой чисел 1,2, … , n. Возьмем произведение этих элементов и умножим на (-1) ^t , где t — число инверсий в перестановке (1). Получим (-1) ^t (2). Это произведение (2) принято называть членом определителя матрицы А.

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы А назовем сумму всех членов определителя матрицы А.

Определитель матрицы А обозначается одним из символов: | A | , det A .

Замечание. Количество членов определителя матрицы А равно n!

Примеры:

1) n=1; A = (a₁₁) . Определитель матрицы равен a₁₁.

2) n=2; A = , тогда det A = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

3) n=3; A = , тогда det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ –

– a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂.

Если n=4, считать определитель по определению становится уже громоздким. Для того, чтобы считать определитель, нужно использовать его свойства.

Свойства определителей.

1) Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании, т.е.

det A = det A^t.

2) Если у матрицы поменять местами две строки, то ее определитель изменит знак на противоположный.