37. Подгруппа. Критерий подгруппы.

Определение. Пусть Г — группа c операцией  и не пустое подмножество HГ, тогда H называют подгруппой группы Г, если H —группа относительно индуцированной операции ,т.е. выполняются условия:

1) H устойчиво относительно индуцированной операции ;

2) В H должен быть нейтральный элемент относительно индуцированной операции ;

3) В H должен быть симметричный элемент относительно индуцированной операции  для любого hH.

Запись H  Г означает, что H — подгруппа группы Г.

Примеры.

1) Г = (Z,+), H = {2Z,+}В этом случае обозначается H<Г.

2) SL(n,P) < GL(n,P).

Теорема (критерий подгруппы). Пусть Г — группа относительно операции, HГ. H является подгруппой тогда и только тогда, когда h₁,h₂H выполняется условие h₁h₂'H (где h₂' — симметричный элемент к h₂).

Доказательство.

Необходимость: Пусть H — подгруппа (нужно доказать, что h₁h₂'H). Возьмем h₁,h₂H, тогда h₂'H и h₁h'₂H (так как h'₂ — симметричный элемент к h₂).

Достаточность: (надо доказать, что H — подгруппа).

Раз H , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hH, n=hh'H, т.е. нейтральный элемент nH. В качестве h₁ берем n, а в качестве h₂ возьмём h тогда h'H   hH симметричный элемент к h также принадлежит H.

Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.

Возьмём h₁ , а в качестве h₂ возьмём h'₂  h₁(h₂') ' H,  h₁h₂ H.

Пример.

Г=S_n, n>2, α — некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S^α_n ={f S_n ,f(α)=α}, при действии отображения из S^α_n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h₁,h₂H. Произведение h₁^.h₂'H, т.е H — подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.

38. Кольцо. Свойства колец.

Определение. Пусть К непустое множество с двумя алгебраическими операциями: сложением и умножением. К называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) К — абелева группа относительно сложения;

2) умножение ассоциативно;

3) умножение дистрибутивно относительно сложения.

Если умножение коммутативно, то К называют коммутативным кольцом. Если относительно умножения есть нейтральный элемент, то К называют кольцом с единицей.

Примеры.

1) ,+, — коммутативное кольцо с единицей.

2) 2,+, — коммутативное кольцо без единицы.

3) P_n ,+,  — не коммутативное кольцо с единицей.

Простейшие свойства колец.

1. Так как К абелева группа относительно сложения, то на К

переносятся простейшие свойства групп.

2. Умножение дистрибутивно относительно разности:

a(b-c)=ab-ac.

Доказательство. Т.к. ab-ac+ac=ab и a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, то

a(b-c)=ab-ac.

3. В кольце могут быть делители нуля, т.е. ab=0, но отсюда не следует,

что a=0 b=0.

Например, в кольце матриц размера 22, существуют элементы не

равные нулю такие, что их произведение будет нуль:

,где — играет роль нулевого элемента.

4. a·0=0·а=0.

Доказательство. Пусть 0=b-b. Тогда a(b-b)=ab-ab=0. Аналогично 0·а=0.

5. a(-b)=(-a)·b=-ab.

Доказательство: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Если в кольце К существует единица и оно состоит более, чем из

одного элемента, то единица не равна нулю, где 1─ нейтральный

элемент при умножении; 0 ─ нейтральный элемент при сложении .

Доказательство (от противного). Предположим противное. Пусть 1=0.

Возьмем  aК, тогда a=a*1=a*0=0a=0. Значит кольцо состоит из

одного элемента. Противоречие с условием теоремы, ибо,|K|≥2.

7. Пусть К кольцо с единицей, тогда множество обратимых элементов

кольца образуют группу относительно умножения, которую называют

мультипликативной группой кольца K и обозначают K*.

Доказательство.

К^*. Пусть a K* и b K*. Докажем, что ab K*. В самом деле

(ab)^-1=b^-1a^-1K^*, ибо a^-1,b^-1K^*.