6. Корни из единицы.

1=cos0+isin0  =cos +isin , k=0,1,…,n-1.

Корни расположены на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на n равных частей.

Теорема 1.

Все значения корня n–той степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из них на все корни из 1.

Доказательство:

Возьмём  = = (cos +i sin ), где s–фиксированное число.

₁, ₂,…, _n – так обозначим все корни .

Домножим каждый из корней ₁,…, _n на . Они разные, все являются корнями n–той степени из z, ибо (_i)ⁿ = z и их n штук.

Теорема доказана.

Теорема 2.

Произведение двух корней n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Следствие.

Степень корня n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Все ли корни из 1 равноправны?

n=4 ; 1, –1, i, –i — корни из единицы.

i; –i — первообразные корни; если i возводить в степени 0, 1, 2, 3, то получим все корни.

Определение 1.

Корень n–той степени из 1 называется первообразным, если он не даёт единицу в степени меньше, чем n.

Всегда ли есть первообразный корень?

Всегда! Например: cos +i sin .

Упражнение. Доказать, что корень n–той степени

_k = cos + i sin будет первообразным, если n и k — взаимно простые (не имеют общих делителей отличных от 1)

7. Числовое поле.

В множествах Q  R  C возможны четыре операции +, - , * , / .

Определение 1. Подмножество K  C множества комплексных чисел C, состоящее более, чем из одного элемента, называют числовым полем, если выполняются следующие условия:

1)  a, bK  a+bK , то есть в множестве K всегда возможно сложение;

2)  aK  –aK ;

3)  a, bK  abK , то есть задано умножение в K (K замкнуто относительно умножения);

4)  a  0 ; a(^-1)K.

Из 2) с учётом 1) получаем, что в K всегда возможно вычитание.

Из 4) с учётом 3) получаем, что в K всегда возможно деление на число не равное 0.

Q — поле рациональных чисел;

R — поле вещественных чисел;

C — поле комплексных чисел.

Упражнение 1. Числовое поле всегда бесконечно.

Упражнение 2. Любое числовое поле всегда содержит Q (множество рациональных чисел).

Пример поля отличного от Q, R и C:

K = {a+b , где a и b Q }.

8. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

Пусть К ≠  . Рассмотрим прямоугольную таблицу из n строк и m столбцов, состоящую из элементов К

(1)

aij — произвольный элемент таблицы, где i — номер строки, j — номер столбца, aij  К  i,j. Таблицу (1) назовем матрицей размером n x m. Краткая запись (aij)(m x n)_. В будущем будем рассматривать (1) над числовыми полями. Матрицы будем обозначать A,B,C, а их элементы соответственно aij , bij, cij.

Определение 1. Две матрицы (aij), (bij) одинаковых размеров будем называть равными, если aij = bij  i,j.

Определение 2. Матрица называется квадратной, если m=n.

Определение 3. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны 0.

Пример:

Определение 4. Диагональная матрица, все элементы которой равны между собой, называется скалярной матрицей.

Скалярная матрица, у которой элемент, стоящий на диагонали равен 1, называется единичной.

Пример:

Сложение матриц и их свойства.

Пусть n и m — фиксированные натуральные числа. Рассмотрим множество матриц над некоторым числовым полем Р размером n x m, обозначим его Р(n x m) .

Определение 5. Возьмем две матрицы A, B Р(n x m)_. Под суммой матриц A и B (обозначают А+В) понимают матрицу С  Р(n x m) такую, что cij =aij + bij, для всех i=1,…,n; j=1,…,m.,т.е. чтобы сложить две матрицы, надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах.

Свойство 1. Сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С = А + (В+С) и коммутативно, т.е. А+В=В+А  А,B,C Р(n x m)

Свойство 2. Если нулевую матрицу прибавить к произвольной матрице тех же размеров, то последняя не изменится.

Свойство 3. Для любой матрицы AР(n x m)  BР(n x m) такая, что А+В=0. Такая матрица В называется противоположной к матрице А.

Умножение матрицы на число и его свойства.

Определение 6. Пусть AР(n x m), Р — произвольный элемент поля Р. Под произведением А понимают матрицу В тех же размеров такую, что bij = aij.

Свойство 1. 1А = А  А Р(n x m).

Свойство 2. (+) А = А + А. (Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно сложения чисел)  А Р(n x m),  Р.

Свойство 3.  (А + В) = А + В. (Умножение числа на сумму матриц дистрибутивно относительно сложения матриц)  Р, А,B Р(n x m) .

Свойство 4. () А = (А)  А Р(n x m),  Р.