28. Корни многочлена.

Пусть f(x) — некоторый многочлен над фиксированным полем P. f(x)=an x^n+…+a0P[x]. И пусть c — некоторое число (не обязательно из P). Если мы подставим вместо x число c, то получим f(c) = an c^n+…+a0 — значение многочлена при x = c. Если f(x)=g(x), то f(c)=g(c).

Определение 1. Если f(c)=0, то с называют корнем многочлена f(x) или корнем уравнения f(х)=0.

Разделим с остатком f(x) на (x-c): f(x)=(x-c)q(x)+r(x), где r(x)=0 и r(x)=a, a0, то есть r(x) в любом случае число.

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления f(x) на многочлен (x-a) не выполняя самого деления.

Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена f(x) на многочлен (x-a) равен значению этого многочлена при x=a.

Следствие. а является корнем f(x) тогда и только тогда,когда (x-а) делит f(x).

<  f(a)=0 (т.к. а-корень). Значит по теореме Безу (x-a) делит

f(x)  f(x)=(x-a)f1(x). Очевидно f(a)=0. >

Это позволяет свести нахождение всех корней многочлена к нахождению делителя первой степени. Это можно сделать при помощи схемы Горнера.

Схема Горнера:

Пусть f(x)= a0 x^n +…+an. Разделим многочлен f(x) на x-:

f(x)=(x- ) f 1(x)+r (1)

где

f₁ (x)=b0 x(^n-1)+…+(b) (n-1).

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве (1):

x^n : a0=b0

x(^n-1) : a1=b1- b0

x(^n-2) : a2=b2- b1

…

x^0: an = r - (b)(n-1).

Отсюда имеем:

b0=a0

b1=a1 +  b0

b2=a2+  b1 (2)

… …

r= an + (b)(n-1).

Для запоминания вычисления коэффициентов применяют схему Горнера. Делают таблицу следующего вида:

	a0 a1 a2 … an
	a0 a1+b0 c …

В первой строке этой таблицы выписывают один за другим все коэффициенты f(x), а во второе слева — элемент . Коэффициенты частного f1(x) и остаток записывают последовательно во второй строке, согласно равенствам (2).

29 – 30.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Теорема. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого больше либо равна единице, имеет хотя бы один корень в поле комплексных чисел.

Следствие 1. Многочлен f(x) с любыми числовыми коэффициентами разлагается на линейные множители вида x-α над полем комплексных чисел, причем такое разложение однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.

< Применяя теорему, получим:

f(x) = (x-α1) f1(x) = (x-α1) (x-α2) f2(x)=…=a (x-αi), a — коэффициент при старшей степени; П — произведение. >

Замечание 1. Это следствие решает задачу о разложении многочлена) на неприводимые множители над полем комплексных чисел.

Cледствие 2: Пусть f(x) — многочлен над полем вещественных чисел f(x) R [x]; α  C (комплексное число). Если α — корень f(x), то и — корень f(x). Если α — корень кратности k, то и — корень кратности k ( α называют корнем кратности k многочлена, если f(x) можно представить в виде:

, где .

Доказательство. Пусть

f(x) =an x^n +…a0  R[x], тогда

………………..

f(α)=an α^n+(a)(n-1) α(^n-1)+…+a0 =0

Отсюда следует, что

an( )^n + (a)(n-1)( )(^n-1) +…+ a0 .

Пусть α — корень кратности k (α — комплексное число, ), т.е. , — корень какой-то кратности l, т.е.

f(x) = (x- )^l f₂(x).

Докажем, что k=l.

Будем доказывать от противного, т.е. полагаем kl, например, k>1. Заметим, что α — корень f2(x), причем α — корень кратности k. Положим

p(x)=(x-α) (x- )=x² + px +q R [x]. Имеем

f(x)= (x-α)^l (x-α)^l q(x) = (x^2+px+q)^l q(x).

Отсюда следует, что q(x) — многочлен с действительными коэффициентами и q(α) = 0, ибо мы предположили, что k>l. Отсюда сразу же следует, что q( )=0. А это противоречит тому, что — корень кратности l. Пришли к противоречию. Оно возникло из предположения, что k>l. Аналогично получим противоречие, если предположим, что k<l. >

Следствие 3: Пусть f(x) R[x] многочлен с действительными коэффициентами, f(x) можно представить в виде произведения его старшего коэффициента, линейных множителей вида (x-α), где α соответствует действительным корням многочлена, и множителей вида x²+px+q, соответствующих парам комплексно-сопряженных корней.

< Cогласно следствию 1 f(x) можно представить в виде:

f(x) = a (x-α1)…(x-αk)(x-(α)(k+1))(x-(α)(k+1))…

Сначала запишем множители, соответствующие действительным корням, потом — множители, соответствующие парам комплексно-сопряженных корней.

Легко заметить, что многочлен (x-(α)(k+1))(x-( )(k+1))=x^2+p1x+q1R[x] с действительными коэффициентами и так для каждой пары комплексно-сопряженных корней.