1.2. Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х:

,

где f(t)- некоторая функция времени. Проекция средней скорости на ось х:

.

Средняя путевая скорость:

,

где - путь, пройденный точкой за интервал време­ни . Пусть в отличие от разности координат не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. .

Проекция мгновенной скорости на ось х:

.

Проекция среднего ускорения на ось :

.

Проекция мгновенного ускорения на ось :

.

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

.

Модуль угловой скорости:

.

Модуль углового ускорения:

.

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

,

где v - модуль линейной скорости; - модули тангенциального и нормального ускорений; - модуль угловой скорости; - модуль углового ускорения; - радиус окружности.

Модуль полного ускорения:

.

Угол между полным и нормальным ускорениями:

.

Импульс материальной точки массой т, движущейся со скоростью :

.

Второй закон Ньютона:

,

где - результирующая сила, действующая на ма­териальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) сила тяжести

;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где - гравитационная постоянная; - массы взаимодействующих тел; - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В слу­чае гравитационного взаимодействия силу можно выра­зить также через напряженность гравитационного поля:

;

г) сила трения (скольжения)

,

где f - коэффициент трения; N - сила нормального дав­ления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел ( )

,

где - скорости тел в момент времени, принятый за начальный; - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно,

или .

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

,

где k - жесткость пружины; х - абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где G - гравитационная постоянная; - массы взаимодействующих тел; - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

,

где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии , где R - радиус Земли). Закон сохранения механической энергии

.

Работа , совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

.

Основное уравнение динамики вращательного движе­ния относительно неподвижной оси

,

где - результирующий момент внешних сил относи­тельно оси , действующих на тело; - угловое ускоре­ние; - момент инерции относительно оси вращения. Моменты инерции некоторых тел массой относи­тельно оси , проходящей через центр масс:

а) стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

,

где R- радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендику­лярной плоскости диска,

.

Проекция на ось момента импульса тела, вращаю­щегося относительно неподвижной оси ,

,

где - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса системы тел, вра­щающихся вокруг неподвижной оси ,

,

где - момент инерции системы тел относительно оси ; - угловая скорость вращения тел системы во­круг оси .

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ,

или .